Dudas sobre gestión de alquiler de vivienda

Hola
Soy el propietario de una vivienda la cual he puesto en alquiler en una inmobiliaria,
el
otro día fuimos a enseñar la vivienda a unas personas las cuales les
parecido bien y querían alquilármela y me dieron una señal de 400 euros
como reserva antes de la firma del contrato y yo firmé un recibo como
que recibía tal cantidad ,pues en ese mismo momento yo entregué esos
mismos 400 euros a la inmobiliaria como gastos de la gestión por el
alquiler del contrato el cual se firmaría una semana después, firmando
también su recibo correspondiente
Pues bien ,al día siguiente me
lo pienso mejor y decido no alquilar la vivienda a estas personas,pues
no me dan confianza y voy a la oficina a decirlo(no pasaron ni 12 horas
desde el inicio de la gestión) y ya se que lo tenia que haber pensado
antes pero en fin uno también se equivoca).
Bueno pues le digo a
la chica de la inmobiliaria que no les alquilo el piso a esas personas y
que si puede devolverles el dinero que yo le di a ella y me dice que
no,que el dinero se lo tengo que dar yo y que ella se queda con los 400
euros por la gestión que a iniciado( Pero que no a finalizado al echarme
yo atrás)
La solución que ella me da es que se queda los 400
euros a cuenta y me busca otro inquilino pero a mi me parece que esa
solución es un poco egoísta y de ser buitre por su parte pues yo tengo
la vivienda en mas inmobiliarias y de esta forma me obliga a elegir solo
sus clientes
Mi pregunta ¿Es legal lo que quiere hacer? Y estoy
yo obligado a darle los 400euros a estas personas que querían alquilar
mi vivienda? Supongo que esto ultimo si que tendré que cumplirlo pues
ellos me dieron a mi la reserva pero si es así yo también quiero
recuperar los 400 euros por una gestión no hecha