Reparametrizaciones de curvas.

13)

f:[0,3] ---> R^2

f(t) = (t^2+t, 4t-1)

Se quiere que la reparametrización F recorra el camino f en sentido contrario y lo haga en la cuarta parte de tiempo.

Esto lo resolveremos como en los ejemplo de las páginas 462-463.

Tomaremos una función phi

phi: [0, (0-3)/(-4)] --->[0,3]

[0, 3/4] ----> [0, 3]

phi(s) = -4s+3

Con lo cual F(s) = f[phi(s)]: [0, 3/4] ----> R^2

F(s) = ((-4s+3)^2 - 4s +3, 4(-4s+3)-1)

F(s) = (16s^2 - 24s +9 - 4s + 3 , -16s +12 - 1)

F(s) = (16s^2-28s+12 , -16s+11)

Y F es la reparametrización que cumple lo que piden. Recordar que llamo F a lo que el libro llama f con barra.

27) Determine una función f: I de R ----> R^3 que parametrice la parte de la recta

2x = y = 3z

Que se encuentra en el primer octante empezando en el origen

El primer octante es aquel donde todas las coordenadas son positivas. En efecto, esta recta pasa por el primer octante, el punto (3,6,2) es un ejemplo de ello. Pero también pasa por el octavo ya que el punto (-3, -6, -2) también pertenece a la recta.

Aunque esta recta se puede parametrizar fácilmente lo haremos como si fue una más.

Para ello pongamos la ecuación de la recta en forma continua, si dividimos entre 6 lo conseguiremos

x/3 = y/6 = z/2

Un punto de la recta es lo que se resta de la x, y, y z, en este caso es 0 para las tres, luego el punto es (0,0,0)

Y el vector es el compuesto por los denominadores (3,6,2)

Luego las ecuaciones paramétricas de la recta son:

x = 0 + 3t = 3t

y = 0 + 6t = 6t

z = 0 + 2t = 2t

Y para que solo tome valores en el primer octante se hace t >=0

Luego la función es

f: [0, oo] -----> R^3

f(t) = (3t, 6t, 2t)

Y eso es todo.