Construcción de un proceso estocástico

Instrucciones
Una partícula se encuentra en un punto al que identificaremos con el origen de la recta numérica. Con probabilidad p avanza una unidad hacia la derecha y con probabilidad q = 1 - p lo hace hacia la izquierda. Sea Xn el punto donde se encuentra la partícula después de n pasos.
Este proceso se conoce como caminata aleatoria o recorrido aleatorio. Se puede pensar a Xn como una suma de variables independientes e idénticamente distribuidas Yi que indican lo ocurrido en cada paso:

Yi= 1 si en el paso i hay un movimiento a la derecha
Yi= -1 si en el paso i hay un movimiento a la izquierda

con distribución de probabilidad común dada por
. P(Yi=1)= p P(Yi=-1) = 1-p= q
Usando lo anterior, las variables de la caminata aleatoria son:

Xo= 0
Xn= Y1+ Y2+...+Yn para n > 0.

Recursivamente, la relación anterior se escribe como

Xo= 0 y Xn= Xn-1 + Yn para n>0,
o bien,

Xo= 0 y Xn- Xn-1 = Yn para n>0,
a) Demuestra que {Xn} es un proceso con incrementos independientes.
b) Demuestra que {Xn} es un proceso de Markov.
c) Demuestra que {Xn} es un proceso con incrementos estacionarios.
d) Si el siguiente elemento del espacio muestral representa una colección de valores tomados por las variables Y´s, dibujala trayectoria muestral correspondiente:
? = (-1,-1,1,-1,1,1,1,1,-1,…).
e) Calcula la esperanza y la varianza de Xn e interpreta su valor cuando p > q, cuando p<q y cuando p = q.