Hallar los valores de por pertenece a reales que verifican las siguientes ecuaciones

No sabes como me vendría de bien si cada ejercicio fuera en una pregunta. No es porque sean difíciles pero tener el triple de puntos sería lo ideal.

a) cos^2(x) = 3 - 3 senx

Sustituiremos cos^2(x) por 1-sen^2(x)

1 - sen^2(x) = 3 - 3senx

lo pasamos todo a la derecha para que el cuadrado tenga signo positivo

sen^2(x) - 3senx + 2 = 0

Esto es una ecuación de segundo grado donde la incógnita es senx

$$senx=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}= 2\; y\; 1$$

El resultado senx=2 no nos sirve ya que el seno debe valer entre -1 y 1,luego la única respuesta es senx=1

y senx=1 cuando el angulo x es 90º

luego la respuesta es 90º o pi/2 rad

b) log(2) (x-1) + log(2) (x+1) =3 lne

En la izquierda usaremos la propiedad de que el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos de los factores. Y en la derecha que el logaritmo neperiano de e es 1

log(2)[(x-1)(x+1)] = 3

log(2)(x^2-1) = 3

aplicamos la función inversa del logaritmo en base 2 que es elevar 2 a la función

2^[log(2)(x^2-1)] = 2^3

x^2-1 = 8

x^2 = 9

x = -3 y 3

Pero ahora hay que probar si valen o no para la ecuación inicial, porque al hacer el producto hemos podido hacer una cantidad positiva de dos negativas, y no hay logaritmos de números negativos

Si x fuera -3 tendríamos

log(2)(-3-1) + log(2)(-3+1) = log(2)(-4) + log(2)(-2)

luego pasa lo que decía y x=-2 no sirve

si x=3

log(2)(3+1) + log2(3-1) = log(2)4 + log(2)2 = 2+1 = 3 está bien.

Luego la respuesta es x=3

c) Por favor, mándamelo en una pregunta nueva tras puntuar esta y me dices cuál de estas dos es:

$$\begin{align}&1)\quad \frac{5^{4x-3}}{25^x}=\frac 1{125}\\ &\\ &2)\quad  \frac{5^{4x}-3}{25^x}= \frac 1{125}\\ &\\ &3)\quad 5^{4x}- \frac{3}{25^x}= \frac{1}{125}\end{align}$$

La que interpretaría un ordenador sería:

$$5^4·x-\frac{3}{5^x}=\frac{1}{125}$$

Aunque creo que eso no lo has querido poner.

Y eso es todo.