Quiero saber cuando una ecuación matemática de valor absoluto no tiene solución

Las ecuaciones de valor absoluto, como todas, tienen solución para todas las por que cumplan la igualdad. En este caso, resolvemos de la siguiente manera, teniendo dos ecuaciones:
1-2x=4
1-2x=(-4)
Resolviendo las dos tenemos:
x=-3/2 y x=5/2, es decir, esas son las soluciones de esta ecuación.
Una ecuación de valor absoluto no tiene solución cuando no puedes hallar ninguna por que cumpla la igualdad.
Por otro lado, con respecto a lo que dices de que si existe cuando no hay solución, decirte que una cosa es una igualdad o ecuación, y otra cosa es una función.
Si lo anterior fuera una función sería:
f(x)=|1-2x|-4, entonces lo que has hecho sería hallar los puntos de corte con el eje de las x, donde y=f(x)=0, y has hallado esos puntos de corte, es decir que la función en otros puntos distintos si existe.
Resumiendo: tienes que diferenciar si lo que te dan es una ecuación o una función.
No sé si te quedará clara mi explicación, si tienes alguna duda te responderé lo mejor que pueda.