Espacio vectoriales dado el conjunto

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Sabemos que P2 es un espacio vectorial de dimensión 3, su base canónica es

{1, x, x^2}

Y como todas las base de un espacio vectorial finito tienen el mismo número de vectores, S no puede ser una base por tener 2 elementos.

También podemos demostrarlo encontrando un polinomio de P2 que no se pueda expresar como combinaciób lineal de esos dos. Es fácil ver que el monomio de grado 0 y grado 2 solo dependen de u1 y tendrán coeficientes opuestos. Si tomamos cualaquier polinomio cuyos coeficientes de x^2 y coeficiente lbre no son opuestos no se podrá expresar como combinación lineal.

Por ejemplo y sin ir más lejos, x^2 no puede obtenerse con u1 y u2.

Y eso es todo.

Valero cordial saludo, ¿y matemáticante eso se puede realizar? La verdad si quedé con dudas. Muchas gracias

¿No entiendo lo que quieres decir?

S = {1-x^2, x} no es una base de P2 porque no es un sistema generador de P2, y te he puesto como ejemplo que el polinomio x^2 no se puede expresar como combinación lineal de ellos.

x^2 = a(1-x^2) + bx

x^2 = a - ax^2 + bx

para que el coeficiente de x^2 sea el mismo debe ser

1=-a

a=-1

Para que el coeficiente de x sea el 0 de la izquierda debe ser b=0

Entonces quedaría

x^2 = -1 + x^2

Absurdo.

Luego x^2 no se puede poner combinación lineal de u1 y u2 y por lo tanto no son una base.