Distribución de probabilidad bivarantes y multivariantes
Tengan X y Y una función de densidad de probabilidad conjunta dada por
f (x, y) =
k(1 − y), 0 ≤ x ≤ y ≤1,
0, en cualquier otro punto.
A Encuentre el valor de k que haga de ésta una función de densidad de probabilidad.
b Encuentre P(Y1 ≤ 3/4, Y2 ≥ 1/2).
Nota: ya halle la parte "a" y k=6, solo que no consigo resolver la parte "b".
1 Respuesta
Efectivamente, he comprobado que con k=6 es una función de densidad
Vamos con la parte b. Veo que has mezcado las X y Y con Y1 y Y2. De acuerdo a la notación con X y Y la pregunta sería calcular P(X<=3/4, Y>=1/2)
Como X menor que 3/4 el límite superior de la integral de x sera 3/4
Como Y mayor que 1/2 se van a dar dos casos para el límite inferior de Y
1) Si X menor que un 1/2 el límite inferior será 1/2
2) Si X mayor que 1/2 el límite inferior será X
Esto se traduce en el uso de dos integrales
$$\begin{align}&\int_0^{1/2}\int_{1/2}^16(1-y)dydx+\int_{1/2}^{3/4}\int_x^16(1-y)dydx=\\ & \\ & 6\int_0^{1/2}\left. \left(y -\frac{y^2}{2} \right)\right|_{1/2}^1dx+6\int_{1/2}^{3/4}\left. \left(y -\frac{y^2}{2} \right)\right|_{x}^1dx=\\ & \\ & 6\int_0^{1/2}\left(1-\frac 12-\frac 12+\frac 18 \right)dx+\\ & \\ & 6\int_{1/2}^{3/4}\left( 1-\frac 12-x+\frac {x^2}2 \right)dx=\\ & \\ & 6\int_0^{1/2}\frac{dx}{8}+6\int_{1/2}^{3/4}\left(\frac 12-x+\frac {x^2}2 \right)dx=\\ & \\ & \left.6·\frac x8\right|_0^{1/2}+6\left[\frac {x}2-\frac {x^2}{2}+\frac{x^3}{6} \right]_{1/2}^{3/4}=\\ & \\ & \frac 6{16}+ 6 \left(\frac 38-\frac 9{32}+\frac{27}{384}-\frac 14+\frac 18-\frac{1}{48} \right)=\\ & \\ & \frac 38+6\left(\frac{144-108+27-96+48-8}{384} \right)=\\ & \\ & \frac 38 + 6·\frac{7}{384}= \frac{144+42}{384}= \frac{186}{384}=\frac{31}{64}\\ & \end{align}$$Y eso es todo.
