Estimador de máxima verosimilitud

hola valeroasm!!! Mira te pregunto esto porque la verdad no se como hacerlo ayúdame por favor gracias!!!

1) Sea X1, .....Xn una muestra aleatoria de una distribución Poisson, con parámetro ? Desconocido. Sea ?=P(Xi=2) . El estimador de máxima verosimilitud para ? Es?

2) Sea X1,.....Xn una muestra aleatoria de una población con distribución f(x)=?e^((-?)(x-?)) , X=?, con ?, ?>0 . Si ? Es conocido, el estimador de máxima verosimilitud para ? Es?

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¡Hola Elmandew!

La verdad es que esto no lo sabía, por eso tardo en contestar.

Nos dan una muestra, el método de máxima verosimilitud consiste en encontrar el parámetro que nos piden tal que haga que la probabilidad de haber obtenido esa muestra sea máxima.

Para un determinado valor del parámetro cada uno de los elementos de la muestra tendrá una probabilidad, para tener una visión global de la probabilidad de toda la muestra lo que se hace es el producto de todas esas probabilidades. Eso da una función del parámetro y lo que se hace es calcular su máximo, normalmente derivando.

Otra cosa es que la derivada de un producto de n funciones suele ser muy complicada, entonces lo que se hace es tomar el logaritmo de ese producto, lo cual se transforma en una suma de funciones logarítmicas y es sencillo derivarlas para obtener el máximo. El máximo de una función positiva es el mismo que el de su logaritmo.

Vamos a verlo resolviendo el ejercicio que se verá mas claro

La distribución de Poisson es

$$\begin{align}&p(X_i)=\frac{e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}}{X_i!}\\ &\\ &\\ &L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}}{X_i!}= \\ &\\ &\frac{1}{X_1!X_2!···X_n!}\prod_{i=1}^n e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}\\ &\end{align}$$

Lo que hemos sacado fuera es una constante, luego el máximo estará donde esté el máximo de lo que queda dentro.

Es ahora cuando vamos a tomar logaritmos neperianos del multiplicatorio

$$\begin{align}&ln(\prod_{i=1}^n e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}) =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n ln(e^{-\lambda}·\lambda^{X_i}) =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n(ln \,e^{-\lambda}+ ln \,\lambda^{X_i}) =\\ &\\ &\sum_{i=1}^n(-\lambda+ X_i·ln\, \lambda)=\\ &\\ &-\lambda n+ln\,\lambda\sum_{i=1}^nX_i\\ &\\ &\\ &\text{derivamos respecto }\lambda \text{ e igualamos a 0}\\ &\\ &-n + \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\lambda}=0\\ &\\ &\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\lambda}=n\\ &\\ &\lambda = \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n} =\overline X\end{align}$$

Luego el parámetro lambda de máxima verosiomilitud es la media de la muestra.

Y eso es todo. Tengo que irme a dormir. Por favor puntúa ya esta pregunta y el otro ejercicio me lo mandas en una nueva. Son ejercicios bastante complicados para hacer varios en una pregunta.

Y por favor revisa el enunciado al mandármelo, hay muchos caracteres que la página te ha cambiado por interrogaciones y no se entienden, usa letras normales, en vez de lambda pon t por ejemplo.

Un saludo.

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