Dominio, intervalos de crecimiento y óptimos locales de una función matemática
Dada la función f(por)=por*log(por/2) necesito ayuda para determinar:
a)Determinar dominio
b)Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c)Determinar óptimos locales de la función
Por favor alguien que me pueda explicar esto y me ayude a resolverlo. Gracias
a)Determinar dominio
b)Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c)Determinar óptimos locales de la función
Por favor alguien que me pueda explicar esto y me ayude a resolverlo. Gracias
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Ya veo que te ha traicionado el corrector ortográfico que te ha cambiado la "x" por "por". Ya mande una queja a la dirección, a ver si lo resuelven. Hasta entonces no hay más remedio que desactivarlo para poder escribir la variable x.
La función es:
f(x) = xlog(x/2)
a)El dominio será aquel donde x/2 sea positivo, es decir:
dom f = (0, +infinito)
b)Derivamos para calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
f '(x) = log(x/2) + x·(1/2)(1/(x/2)) = log(x/2)+1
Los ceros de la derivada primera son:
log(x/2) +1 = 0
log(x/2) = -1
x/2 = e^-1
x= 2e^-1 ó si se prefiere x = 2/e
Veamos el signo en (0, 2e^-1). Tengamos en cuenta que log(x) es creciente para poder poner la desigualdad inicial
log(x/2)+1 < log((2e^-1)/2) + 1 = log(e^-1)+1 = -1+1 = 0
Luego log(x/2)+1 < 0 en (0, 2e^-1), y por lo tanto f es decreciente
En el intervalo (2e^-1, +infinito) usaremos la misma demostración pero con signo > con lo que nos dará que la derivada es positiva y por lo tanto f es creciente.
c) Los óptimos locales son los puntos donde la derivada primera es nula. Ya los calculamos antes, el único óptimo local es:
2e^-1
Es un mínimo porque la función decrece antes y crece después de ese punto.
Y eso es todo.
La función es:
f(x) = xlog(x/2)
a)El dominio será aquel donde x/2 sea positivo, es decir:
dom f = (0, +infinito)
b)Derivamos para calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
f '(x) = log(x/2) + x·(1/2)(1/(x/2)) = log(x/2)+1
Los ceros de la derivada primera son:
log(x/2) +1 = 0
log(x/2) = -1
x/2 = e^-1
x= 2e^-1 ó si se prefiere x = 2/e
Veamos el signo en (0, 2e^-1). Tengamos en cuenta que log(x) es creciente para poder poner la desigualdad inicial
log(x/2)+1 < log((2e^-1)/2) + 1 = log(e^-1)+1 = -1+1 = 0
Luego log(x/2)+1 < 0 en (0, 2e^-1), y por lo tanto f es decreciente
En el intervalo (2e^-1, +infinito) usaremos la misma demostración pero con signo > con lo que nos dará que la derivada es positiva y por lo tanto f es creciente.
c) Los óptimos locales son los puntos donde la derivada primera es nula. Ya los calculamos antes, el único óptimo local es:
2e^-1
Es un mínimo porque la función decrece antes y crece después de ese punto.
Y eso es todo.
