Hola, tengo que demostrar el teorema 4.9 La bisectriz
La bisectriz de un ángulo externo de un triángulo divide exteriormente el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos.
Me dices por favor si estoy bien? O tengo que hacer cambios?
Si en un triángulo ABC consideramos el punto de
intersección P de la bisectriz interior del ángulo C con el lado opuesto se
cumple: AP/PB = CA/CB.
Si Q
es el punto de intersección de la bisectriz exterior correspondiente al vértice
C con la prolongación del lado AB tenemos: AQ/QB = CA/CB. De ambas igualdades
obtenemos: AP/PB = AQ/QB.
Demostración:
Se
cumple que área(APC)/área(PBC) = AP/PB , ya que las alturas de ambos triángulos
coinciden.
Si
ahora consideramos ambos triángulos apoyados sobre los lados CA y CB,
respectivamente, y tenemos en cuenta que en ese caso las alturas son las
distancias desde el punto B a las bases y que, por estar B sobre la bisectriz,
esas alturas son iguales, tenemos también: área(APC)/área(PBC) = CA/CB.
De las
dos expresiones anteriores obtenemos: AP/PB = CA/CB.
Un
razonamiento idéntico aplicado a los triángulos CAQ y CBQ nos convence de:
AQ/QB = CA/CB.
De
ambas igualdades se deduce que: CA/CB = AP/PB = AQ/BQ
Gracias.
