Ejercicio función decreciente
Hola experto he hecho el siguiente ejercicio de la siguiente forma no sé si esta bien o n o:
Hall los máximos y mínimos relativos de la función
$$f(x) = x^3 - 9x$$
Determina también en que intervalos es creciente la función y donde es decreciente.
Me ha dado de resultado como mínimo ( raíz cuadrada de 3 , -6 x raíz cuadrada de 3)
máximo (- raíz cuadrada de 3, 6 x raíz cuadrada de 3)
Crece ( - infinito , - raíz cuadrada 3) U ( raíz cuadrada 3 , + infinito)
Decrece ( - raíz cuadrada 3, raíz cuadrada de 3)
Muchas gracias por su ayuda.
1 Respuesta
Tendré que efectuarlo para ver si están bien las respuestas.
Derivaremos la función, donde la derivada sea negativa la función decrece, donde la derivada sea positiva la función crece y donde sea cero puede haber máximos o mínimos relativos.
f '(x) = 3x^2 - 9
Como f '(x) es continua, entre dos puntos con signos distintos se pasa por el cero, calculemos estos puntos donde la derivada es cero y quedaran determinados los intervalos donde el signo es constante.
3x^2 - 9 = 0
3x^2 = 9
x^2 = 3
x = sqrt(3) y -sqrt(3)
Los intervalos de signo constante son:
1) (-infinito, -sqrt(3)) Tomamos x=-3 por ejemplo.
f '(-3) = 3(-3)^2-9 = 27-9 = 18 es positiva luego f(x) es creciente
2) (-sqrt(3), sqrt(3)) tomamos x=0 por ejemplo
f '(0) = 3·0^2 - 9 = -9 es negativa luego f(x) es decreciente
3) (sqrt(3), infinito) tomamos x=3 por ejemplo
f '(3) = 3·3^2-9 = 27-9 = 18 es positiva luego f(x) es creciente
Luego el crecimiento y decrecimiento está bien.
En x=-sqrt(3) pasa de creciente a decreciente luego es un máximo relativo
Y este punto del máximo es
(-sqrt(3) , [-sqrt(3)]^3 + 9sqrt(3)) = (-sqrt(3) , 6sqrt(3))
En x=sqrt(3) pasa de decreciente a creciente luego es un mínimo relativo
Y el punto del mínimo es
(sqrt(3) , [sqrt(3)]^3 - 9sqrt(3)) = (sqrt(3), -6sqrt(3))
Y los máximos-mínimos también están bien.
