Dominio y contradominio en conjuntos
Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier
subconjunto de A×B, el dominio de R se define como el subconjunto {x?A/(?y)?B,tal que (x,y)?R} y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: {b?B/(?a)?A,tal que (a,b)?R} Como notación se suele escribir (a,b)?R,aRb. Si A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios:
Sea D la relación definida sobre el conjunto N={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} como
(a,b)?D si a divide a b. Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D. Definimos R sobre el conjunto de números enteros como (a,b)?R si a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen entre 3. Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación.
1 respuesta
No han salido bien algunos símbolos, sew ven bien cuando se escriben pero luego se transforman en interrogaciones. De todas formas se entiende lo que quieres decir.
El dominio son los elementos del conjunto origen que están relacionados con alguno del conjunto destino y la imagen los que son imagen de algún elemento del conjunto origen.
La relación D que nos dicen es de N en N. Los elementos de la relación son
D ={(2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (2,12), (3,6), (3,9), (3,12), (4,8), (4,12), (6,12)}
Todo ello suponiendo que no se considere que un elemento se divide a sí mismo, porque entonces habría que añadir todos los pares de elementos iguales.
Pero no lo he considerado así porque entonces el ejercicio carecería de interés, el dominio sería todo el conjunto y la imagen todo también. Así que he supuesto que querían decir que a tenía que ser distinto de b.
El dominio es el conjunto de los elementos que están en el primer lugar de los pares
Dominio = {2, 3, 4, 6}
Y la imagen los números que salen en el segundo lugar
Imagen = {4, 6, 8, 10,12, 9} = {4, 6, 8, 9, 10, 12}
La segunda relación es si dejan el mismo residuo al dividir entre 3. Los números que cumplen eso son aquellos cuya diferencia es 3, 6, 9, 12, etc. De nuevo voy a suponer que un número no está relacionado consigo mismo para que tenga interés.
R ={(2,5), (5,2), (2,8), (8,2), (2,11), (11,2), (3,6), (6,3), (3,9), (9,3), (3,12), (12,3), (4,7), (7,4), (4,10), (10,4)}
Todo elemento (a, b) tiene el (b, a) Luego el dominio y la imagen serán el mismo. Además no hay ninguno suelto el dominio y la imagen son todo N. De todas formas los recontamos por orden de aparición para verificarlo.
Dominio = {2,5,8,11, 3,6,9,12, 4,7,10} = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} = N
Imagen = {5,2,8,11, 6,3,9,12, 7,4,10} = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} = N
No estoy de acuerdo con la definición que has dado de contradominio, el contradominio es lo mismo que la imagen, y que también se llama rango.
Y eso es todo.
