Demostrar desigualdad de valores absolutos

$$Sea x?R, demuestre que si |x+y|>|x|+|y| entonces y no es un número real.$$

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Es conocida la desigualdad triangular de los números reales que dice:

Si x, y € R entonces se cumple |x+y| <= |x| + |y|

La demostración es sencilla. Por propiedades del valor absoluto tenemos

-|x| <= x <= |x|

-|y| <= y <= |y|

sumando ambas tenemos

-|x| - |y| <= x+y <= |x| + |y|

-(|x| + |y|) <= x+y <= |x| + |y|

y por propiedades de los valores absolutos eso significa

|x+y| <= |x| + |y|

Los dos números que nos dan no verifican la desigualdad triangular luego no pueden ser los dos reales a la vez, supuesto que x es real entonces y no es real.

Y eso es todo.

Hola,

Sólo me perdí un poco al fina en:

y por propiedades de los valores absolutos eso significa
|x+y| <= |x| + |y|

Por qué x, y no cumplen con la desigualdad?

Tienes

-(|x| + |y|) <= x+y <= |x| + |y|

Llama

a = |x| + |y| se cumple a>=0 por ser suma de dos valores absolutos

b = x + y

entonces queda

-a <= b <= a

Si b es positivo debe ser b<=a luego |b|<=a

Si b es negativo debe ser

-a <=b

multiplicando por -1 cambia en sentido

a>= -b = |b|

|b| <=a

Luego en cualquiera de los casos

|b| <= a

cambiando a y b por sus valores

|x+y| <= |x| + |y|

Puede ser algo pesado de demostrar pero es algo que se ve fácilmente que si un número esta entre -algo y algo positivo entonces el módulo de ese número es menor que ese algo.

Y eso es todo.

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