Divisores de un numero
te envío el segundo problema en una nueva pregunta, me ayudó mucho la primera respuesta.
el problema: halla un número que contenga solo como factores primos el 2 y el 3, y tal que el número de sus divisores sea la tercera parte del total de divisores que tiene el cuadrado de dicho número.
gracias!
El problema es sencillo si se conoce la fórmula del números de divisores de un número.
Para ello debemos descomponer el número en factores primos y hacer el producto de todos los exponentes cada uno incrementado en una unidad.
$$\begin{align}&n=p_1^{e_1}· p_2^{e_2}···p_k^{e_k}\\ &\\ &Divisores=(e_1+1)(e_2+1)···(e_k+1)\end{align}$$El número n que debemos calcular solo tiene factores primos 2 y 3, llamemos x al exponente del 2 e y al exponente del 3
El número de divisores será
Divisores(n) = (x+1)(y+1)
$$n^2=(2^x3^y)^2 = 2^{2x}3^{2y}$$Divisores(n^2) = (2x+1)(2y+1)
Como los de n son la tercera parte
3(x+1)(y+1)=(2x+1)(2y+1)
3xy+3x+3y+3 = 4xy+2x+2y+1
xy - x - y - 2 = 0
El siguiente paso puede parecer difícil pero no es tanto, basta con comprobarlo.
(x-1)(y-1) - 3 = 0
(x-1)(y-1) = 3
Una solución es
x-1=1; y-1=3 ==> x=2; y=4
n=2^2·3^4= 4·81 = 324
Y la otra
x-1=3; y-1=1 ==> x=4; y=2
n=2^4·3^2=16·9=144
Luego los dos números posibles son 144 y 324.
La comprobación divisor a divisor no vamos a hacerla, pero si a través de la fórmula. Al tener exponentes 2 y 4 dará 3·5 = 15 divisores, en tanto que los cuadrados tendrán exponentes 4 y 8 que darán 5·9 = 45 divisores, el triple que nos decían.
Y eso es todo.
