Sistemas de generadores
En el tema de geometría en el espacio ay una pregunta que me piden que calcule si determinados conjuntos por ejemplo: {(3,5,7),(0,1,3)} son sstemas de generadores, ¿cómo lo puedo hacer?
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Respuesta de lowpass
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Un sistema generador es un conjunto de vectores tal que, al combinarlos linealmente puedes obtener cualquier vector perteneciente a un determinado espacio vectorial.
Por ejemplo, un vector no nulo cualquiera es sistema generador de la recta que lo contiene. Dos vectores no nulos y no paralelos son sistema generador del plano que los contiene. Tres vectores serán generadores de R3 (el espacio tridimensional) si son los tres no nulos y no coplanarios.
¿Cómo saber si tres vectores son generadores del espacio tridimensional? Muy fácil: escribes la matriz 3x3 formada por los tres vectores, y calculas su determinante. Si el determinante es distinto de cero, entonces los tres vectores son LINEALMENTE INDEPENDIENTES y forman sistema generador. Si el determinante es uno, es porque los tres vectores están en el mismo plano (uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros dos), y entonces no son generadores del espacio.
Espero que con esto te quede claro. Si no has entendido algo, pregúntamelo y te responderé encantado.
Por ejemplo, un vector no nulo cualquiera es sistema generador de la recta que lo contiene. Dos vectores no nulos y no paralelos son sistema generador del plano que los contiene. Tres vectores serán generadores de R3 (el espacio tridimensional) si son los tres no nulos y no coplanarios.
¿Cómo saber si tres vectores son generadores del espacio tridimensional? Muy fácil: escribes la matriz 3x3 formada por los tres vectores, y calculas su determinante. Si el determinante es distinto de cero, entonces los tres vectores son LINEALMENTE INDEPENDIENTES y forman sistema generador. Si el determinante es uno, es porque los tres vectores están en el mismo plano (uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros dos), y entonces no son generadores del espacio.
Espero que con esto te quede claro. Si no has entendido algo, pregúntamelo y te responderé encantado.
Creo que te equivocaste al decir que "Si el determinante es uno, es porque los tres vectores están en el mismo plano" sería más bien "Si el rango es uno..." - MIGUEL ALEJANDRO MARTÍN REYES
¿La base canónica de r3 es también un conjunto generador? - Nicolás Kolokofsky
Nicolás Kolokofsky sí, toda base es un conjunto generador, pero no todo conjunto generador es una base. - MIGUEL ALEJANDRO MARTÍN REYES