Determinar si la serie es convergente o divergente:
S desde n=1 hasta infinito de: [n^(k-1)] / [n^(K) + c]
Estoy haciendo un taller, dentro de poco tendré el parcial y este tema casi no lo entiendo, en lo que me puedan colaborar con su explicación, se los agradecería mucho!
1 respuesta
El criterio de D'Alembert dice que dada una serie de términos positivos X(n) con
lim n--->oo X(n+1) / X(n) = L
siendo L un número finito.
La serie converge si l < 1 y diverge si L > 1
Aplicado a la serie que tenemos sería
lim n -->oo (n+1)^(k-1) / (n^k + c)
Sea k>0, entonces cuando n-->oo ==> n^k -->oo
dividimos todo por n^k y queda
$$\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{(n+1)^{k-1}}{n^k}}{1+\frac{c}{n^k}}=$$desarrollando por el binomio de Newton
(n+1)^(k-1) = n^(k-1) + (k-1)n^(k-2) + (k-1)(k-2)n^(k-3) + ....... +(k-1)n + 1
Son k terminos todos ellos de grado menor que k
Luego al dividir eso por n^k el límite se queda en cero
Asimismo la parte c / n^k tiende a cero
Con ello el límite de arriba queda en
L = 0 / (1+0) = 0
Como L<1 la serie converge.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya lo entendiste no olvides puntuar para poder hacer preguntas en el futuro.
