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Los productos notables más usados son en mi opinión
(a+b)² = a² + b² + 2ab
(a-b)² = a² + b² - 2ab
(a-b)(a+b) = a² - b²
Y luego están los que proceden de la igualdad ciclotómica que dice:
$$a^n -b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1})$$Como caso particular de esta igualdad para n= 3 tenemos:
a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
Pues ahora que lo veo el problema no se puede resolver por productos notables, deberían pedirnos calcular x²+2xy+y².
Confírmame si es correcto el enunciado porque creo q
Ue no. Si lo fuese no se resolvería por productos notables sino que sería solucionar un sistema de ecuaciones por sustitución.
Profesor el enunciado es correcto ,,,,
Vale, pero como ya te decía en otro problema, sería un buen problema de productos notables si nos preguntaran el valor de x^2 + xy + y^2. Asi es un sistema de dos ecuaciones y una evaluación posterior.
Calcular: X^2+Y^2
siendo:
x^3 -y^3 =89
x-y=5
Sustituimos x en la segunda
x = y+5
Y la llevamos a la primera
(y+5)^3-y^3 = 89
aplicamos la formula del binomio de Newton
y^3 + 3(y^2)·5 + 3y·25 +125 - y^3 = 89
15y^2+75y + 125 = 89
15y^2 + 75y + 36 = 0
5y^2 + 25y + 12 = 0
Resolvemos
$$\begin{align}&y=\frac{-25 \pm \sqrt{625-240}}{10}=\\ &\\ &\frac{-25 \pm \sqrt{385}}{10}\end{align}$$La verdad es que queda un resultado bastante feo de operar pero vamos a intentarlo
$$x=5+y =5+ \frac{-25 \pm \sqrt{385}}{10}=\frac{25 \pm \sqrt{385}}{10}$$pero parece que se arregla un poco.
Antes de hacer las operaciones con esas expresiones tan complicadas vamos a hacer en abstracto lo siguiente
$$\begin{align}&(a+b)^2+(-a+b)^2 = a^2+b^2+2ab +a^2+b^2-2ab= 2(a^2+b^2)\\ &\\ &X^2+Y^2=\left (\frac{25}{10} \pm \frac{\sqrt{385}}{10}\right)^2+\left (\frac{25}{10} \pm \frac{\sqrt{385}}{10}\right)^2=\\ &\\ &\\ &2 \left[ \left( \frac{25}{10} \right )^2+\left( \frac{\sqrt{385}}{10}\right)^2 \right]= \\ &\\ &\\ &2 \left( \frac{625}{100}+\frac{385}{100}\right)=2 \left(\frac{1010}{100} \right)=\frac{202}{10}=\frac{101}{5}\end{align}$$Y eso es todo.
