Álgebra de Galois
Definición 1: Sea (M,p) un espacio métrico completo. Una función f: M ---> M se dice contractiva, si y solo si, existe un número real L, positivo y menor que uno, tal que
p(f(x), f(y)) < Lp(x,y). Al tomar como base este concepto, responda la pregunta siguiente:
Demuestre que toda función contractiva es continua y que existe un único punto fijo. Es decir, hay un único punto p € M tal que f(p) = p.
1 Respuesta
Lo del punto fijo ya se demostró en otro ejercicio anterior, es exactamente lo mismo. Si acaso quedaría por demostrar que es continua.
Pero es muy sencillo:
Dado un punto xo, tenemos que demostrar que para todo epsilon >0 existe un delta>0 tal que si
p(xo, x) < delta ==> p(f(xo),f(x))<epsilon
basta con tomar epsilon=delta ya que si p(xo,x) < delta tendremos
p(f(xo),f(x)) <= L p(xo,x) < p(xo, x) < delta = epsilon
Se ha podido quitar la L por ser 0 < L < 1
Y eso es todo.
