Teoría de ecuaciones II: Factorización de Polinomio (Corrección xD)
Se me olvido poner el polinomio en la pregunta pasada, ja ja D:
Factorizar el polinomio dado.
$$f(x)=x^4-x^3+10x^2-16x-96$$
a) Sin restringir el campo de números.
b) Los coeficientes deben ser reales
c) Usar coeficientes racionales.
d) Con coeficientes enteros. Trazar la gráfica correspondiente.
Gracias Valeroasm
1 respuesta
Ah, aquí esta el polinomio. Lo que decía, yo no recuerdo que me hayan enfrentado nunca a un problema como este.
Por el teorema de las raíces racionales, el numerador será un divisor de 96 y el denominador un divisor de 1. Eso nos dice que las racionales serán enteras.
Empezaremos por las racionales y enteras
Los candidatos son : +- (1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96)
Probemos con el 1
P(1) =1-1+10-16-96 = -102
Hacemos el cambio x=1+t
Queda un polinomio con coeficiente independiente -102
102 = 2 · 3 · 17
x = 1 + t = 1 +- (1, 2, 3, 6, 17, 34, 51,102)
Los comunes con los candidatos de arriba son
x = 2, 3, 4, -1, -2, -16
Probamos con (-1)
P(-1) = 1 + 1 +10 + 16 - 96 = -68
Hacemos el cambio x = -1 + t
Queda un polinomio con coeficiente independiente -68
68 = 2^2·17
x= -1 + t = -1 +- (1,2,4, 17, 34, 68) = 0, 1, 3, 16, 33, 67, -2, -3, -5, -18, -35, -69
Los comunes son
x = 3, -2
Probamos con el 3
P(3) = 3^4 - 3^3 + 10·3^2 -16·3 - 96 = 81 - 27 + 90 -48 - 96 = 0
Luego 3 es una raíz, vamos a dividir ya
1 -1 10 -16 -96
3 3 6 48 96
---------------------
1 2 16 32 0Queda así la factorización
P(x) = (x-3)(x^3 + 2x^2 + 16x + 32)
Llamemos Q(x) al factor de grado 3. Y probemos el factor que queda, también hay que probar el 3 por si es una raíz doble, pero con todos los coeficientes positivos ni nos molestamos en probar, no es raíz de Q
Q(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 16(-2) + 32 =
-8 + 8 -32 + 32 = 0
Luego (-2) es otra raíz y volvemos a dividir
1 2 16 32
-2 -2 0 -32
--------------
1 0 16 | 0Y la factorización es
p(x) = (x-3)(x+2)(x^2 +16)
el último factor no tiene raíces reales, las raíces complejas son 4i y -4i
Vamos a responder ya los apartados.
a) p(x) = (x-3)(x+2)(x+4i)(x-4i)
b) p(x) = (x-3)(x+2)(x^2 + 16)
c) p(x) = (x-3)(x+2)(x^2 + 16)
d) p(x) = (x-3)(x+2)(x^2 + 16)
Si sabes hacer tu la gráfica no me la pidas, lleva bastante trabajo elaborarla e insertarla aquí para lo sencillo que es hacerla a mano o con un programa.
Y eso es todo.
