Modelo de costo de inventarios, Un fabricante requiere Nde ciertas partes por año. Aplicaciones de la derivada.

No tengo ese libro, así que puede ser que algo no coincida exactamente con tu planteo, aunque llegaremos al mismo resultado.

Si queremos ver cual es el costo de tener inventario de un artículo determinado, asumiendo que no está permitido tener faltantes y otras condiciones teóricas que no vienen al caso agregar), podemos ver que el mismo está formado por:

Costo Total = Costo del artículo + Costo de Ordenar + Costo de Mantener Inventario

Como dije, hay varios supuestos para esto, pero no viene al caso, ya que los 3 de arriba son los componentes principales del costo.

Ahora desarmemos cada uno de los costos del lado derecho de la igualdad

Costo del artículo = Cantidad demandada (N) * costo unitario del artículo (Cu)

Costo Ordenar = Costo unitario de ordenar (K) * Cantidad de veces que pide

Costo de Mantener Inventario = Costo unitario de mantener inventario (I) * Inventario promedio

Ahora aparecieron dos nuevas cantidades que son:

Cantidad de veces que pide = será la demanda, dividido la cantidad de cada pedido (N/Q)

Inventario promedio = si hacés la gráfica de inventario en función de tiempo, verás que quedan triángulos, donde la altura es Q. A partir de esta gráfica se puede deducir que el inventario promedio será Q/2

Dicho lo anterior, pongamos todo esto nuevamente en la expresión de Costo Total (CT)

$$\begin{align}&CT = N \cdot C_u + K \cdot \frac{N}{Q} + I \cdot \frac{Q}2\\&\text{Es importante notar que la demanda y el costo de mantener inventario tienen que estar}\\&\text{en la misma unidad de tiempo (según este enunciado, ambos están en años, por lo que el costo}\\&\text{te dará en dólares/año}\\&\text{Como queremos ver cual es la cantidad óptima, tenemos que derivar la expresión anterior y la variable que}\\&\text{nos interesa es Q, así que vamos a derivar la expresión en función de ella}\\&\frac{\delta CT}{\delta Q} = 0 - \frac{K\cdot N}{Q^2}+ \frac{I}2\\&\text{Queremos hallar un mínimo, así que igualamos a 0}\\&0 = - \frac{K\cdot N}{Q^2}+ \frac{I}2\\&Despejando...\\& \frac{K\cdot N}{Q^2}= \frac{I}2    (**)\\& \frac{2 \cdot K\cdot N}{I}= Q^2\\&Q = \sqrt{\frac{2 \cdot K\cdot N}{I}}\end{align}$$

La expresión que marqué con (**) es para que notes que el mínimo se conseguirá cuando el costo de mantener inventario sea igual al costo de ordenar.

Por otro lado, te dejo de tarea confirmar que efectivamente es un mínimo, ya que hasta ahora sabemos que es un extremo, pero podría ser máximo (para tu tranquilidad te aseguro que es mínimo, pero deberías probarlo)

Salu2