En una fábrica de empaques se determinó queuna caja abierta rectangular se construye conuna pieza de cartón de 20
En una fábrica de empaques se determinó que una caja abierta rectangular se construye con una pieza de cartón de 20 pulgadas por 32 pulgadas, cortando cuadrados con la misma longitud de lado de las esquinas y doblando los lados laterales hacia arriba. Encontrar las dimensiones de la caja que hacen que la caja tenga volumen máximo.
Buenos dias espero me ayuden a resolver este problema
Si haces el dibujo de un rectángulo de 20x32, y en las 4 esquinas haces 4 cuadrados iguales (de dimensión 'x'), vemos que:
La Base será (32 - 2x) (20 - 2x) y que el
Volumen = (32 - 2x) (20-2x) x
Distribuyendo
V = 640x - 104x^2 + 4x^3
Para buscar los extremos derivamos esa expresión respecto a x
dV/dx = 640 - 208x + 12x^2
queremos que esa expresión sea 0, así que hacemos
0 = 640 - 208x + 12x^2
Usando la resolvente vemos que tiene 2 soluciones:
x1 = 13.33 (no es posible ya que el lado que mide 20, quedaría negativo)
x2 = 4
Veamos si x2 es efectivamente un máximo, para eso volvemos a derivar y obtenemos
dV / dx^2 = -208 + 24x
dV / dx^2 (4) = -208 + 24*4 = -112 como es negativo, x = 4 es efectivamente un máximo!
O sea que a la caja habría que cortarle 4 cuadrados de 4 pulgadas en los extremos y quedaría con unas dimensiones de
Base: 12 x 24
Altura: 4
Salu2
Base: 12