15. Un péndulo integrado por una cuerda de longitud L y una esfera, oscilaen un plano vertical. La cuerda golpea una clavija lo

15. Un péndulo integrado por una cuerda de longitud L y una esfera, oscila en un plano vertical. La cuerda golpea una clavija localizada a una distancia de debajo del punto de suspensión. Determinar la velocidad de la esfera en el punto más bajo de la trayectoria. Demostrar que si el péndulo se suelta desde la posición horizontal (=90°) y oscila en un círculo completo centrado en la clavija, entonces la distancia de es como mínimo 3/5 L.

1) El problema no supone roce de ningún tipo. Valen las ecuaciones del campo conservativo... o sea Energía Mecánica constante durante todo el trayecto de la masa del péndulo.

La velocidad de la esfera arrojada desde el angulo theta con la vertical te saldría por consideracion energética:

E.P. pendulo elevado = mgh = mg (l - lcos theta) = mg l ( 1- cos theta)...............Esa E.P. se transforma totalmente en Cinetica a llegar a la parte mas baja del recorrido.........o sea:E.C. = 1/2 m V1^2

V1 = Velocidad parte baja del recorrido = V((2 g l ( 1-cos theta)) ...(V= raiz cuadrada.)

Si lo soltas con theta = 90° seria V1 = velocidad parte baja del recorrido= V(2 g l)

Para la segunda parte del problema, al llegar a la parte mas baja, el radio de giro disminuye a una cantidad r tal que la masa del péndulo alcance la parte más alta del bucle y pueda completar el giro completo ( 360°).

En la parte mas alta del looping..la fuerza centripeta....mV2^2/r = Peso + Normal 

Esa reacción normal deberá ser necesariamente positiva para que el péndulo no caiga destensando el hilo.

 (mV2 / r)mayor o igual que (mg) .........V2 ( limite) = V(rg).......(V= raiz cuadrada).

Luego la conservacion de la energia mecanica te permite plantear:

E.M.1 = E.M.2 .........................1/2 m v1^2 = 1/2 m rg + mg. 2r ........E.C.parte alta + Energia potencia ganada al subir 2r......................................................

Haces las cuentas ( y simplificaciones) y tenes que:  V1= V(5rg) ..........(V= raiz cuadrada).

De aquí r= radio de giro del péndulo para que de una vuelta entera ( 360°) = V1^2 / 5g = 2gl / 5g = 2/5 l....Luego la distancia " d" mínima para ubicar la clavija que te están pidiendo seria l - 2.5 l = 3/5 l. Para cualquier distancia mayor el péndulo de longitud reducida dará más de una vuelta entera.