De la ecuación 2x^2 +(k-1)x+6=0 sabemos que la diferencia de sus raíces es 2 . Como se halla el valor o valores de k

Sabemos que además del método de la resolvente para hallar las raíces en ecuaciones de 2° grado, hay otra posibilidad y es que

Si las raíces son r_1, y r_2, entonces

2 * r_1 * r_2 = 6 ............(el 2 surge porque acompaña al término cuadrático de x)

por lo tanto 

r_1 * r_2 = 3

si las respuestas son valores enteros, las únicas opciones es que r_1=1, r_2 = 3 o r_1=-1, r_2=-3 (quien es r_1 y quien r_2 es arbitrario, pero vemos que en ambos casos se cumple la condición que la diferencia entre ellas es de 2 unidades)

Además sabemos que 

2 (r_1 + r_2) = k-1 ..........(el 2 tiene que ver con lo mismo que antes)

Usando lo que sabemos de r_1, r_2

Acá tenemos 2 opciones:

a)

2 (1 + 3) = (k-1)

8 = k-1

k = 9

Veamos si se cumple la ecuación

$$\begin{align}&2x^2 +(k-1)x+6=0\\&2x^2 +(9-1)x+6=0\\&2x^2 +8x+6=0\\&x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4\cdot 2 \cdot 6}}{2\cdot 2}\\&x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4}\\&x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{4}\\&x_{1,2} = \frac{-8 \pm 4}{4}\\&x_1=\frac{-4}{4}=-1\\&x_2=\frac{-12}{4}=-3\end{align}$$

b) 

2 (-1 - 3) = (k-1)

-8 = k-1

k = -7

Veamos si cumple

$$\begin{align}&2x^2 +(k-1)x+6=0\\&2x^2 +(-7-1)x+6=0\\&2x^2 -8x+6=0\\&x_{1,2}= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}\\&x_{1,2}= \frac{8 \pm \sqrt{64-4\cdot 48}}{4}\\&x_{1,2}= \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4}\\&x_{1,2}= \frac{8 \pm 4}{4}\\&x_1=\frac{12}{4}=3\\&x_2=\frac{4}{4}=1\end{align}$$

Por lo tanto tenemos 2 valores de k posibles, ya que ambos terminan dando raíces que cumplen las condiciones

Te dejo un LINK, donde explica el criterio que usé antes. Tenés que ver el 2° método

Salu2