Por medio de métodos de demostración:Demostrar que 1+2+5+...+(2n+1)=n(n+2)

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¡Hola Esteban!

El enunciado no está bien expresado. De acuerdo con el término final tendríamos:

Para n=0

1 = 0(0+2) = 0

que es falso.

Para n=1 no sabemos cual es el término final, tendría que ser 2·1+1=3

pero el 3 no está en la sucesión.

Por eso habría que haber añadido una anotación diciendo que para n=1 la suma es 1+2

Entonces vamos a proceder con eso.

i)  Veamos que se cumple para n=1

1+2 = 1(1+2)

3 = 3

se cumple

ii) Veamos que si se cumple para n se cumple para n+1

(1+2+5+...+2n+1) + (2n+3) = n(n+2) + 2n+ 3 =

n^2 + 2n + 2n + 3 = n^2 + 4n + 3 =

podemos factorizarlo fácilmente

= (n+1)(n+3) = (n+1)[(n+1) + 2]

Que es la misma fórmula aplicada a (n+1), luego la fórmula sirve para n+1

Y con estos dos apartados demostrados queda demostrada la inducción.

Y eso es todo, saludos.

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Y si fuera demostrar que 3+4+7+...+(2n+1)=n(n+2)

Ya comenté que la anterior no estaba bien formulada, esta debe estarlo peor todavía

La anterior debía ser

1+2 = n(n+2)                              si n=1

1+2+5 + .... +(2n+1) = n(n+2)   si n>1

Y esta tendrá que ser

3 = n(n+2)                                   si n=1

3+4 = 7                                         si n=2

3+4 + 7 + ... + (2n+1) = n(n+2)  si n>3

Esta no se cumple para todo N porque para n= 2 no se cumple

3+4 = 7 es distinto de 2(2+2) = 8

Y para n=3 tampoco

3+4+7 = 14  distinto de 3(3+2) = 15

.........................................................

La seríe que sería buena es esta:

3+5+7+...+(2n+1) = n(n+2)

Y la demostración de esta la puedes hacer por inducción fácilmente o por deducción sabiendo que la fórmula de la suma de una sucesión es:

$$\begin{align}&S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=\\&\\&\frac{n(2n+4)}{2}=n(n+2)\end{align}$$

Demostrarlo por inducción te lo dejo como ejercicio, si no te sale dímelo.  Y por favor, nuevas preguntas deben formularse con otra pregunta.

Saludos.

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¡Gracias!