Pasar de un contrato de 20 horas indefinido a ser autónomo. (Administración de fincas)

Actualmente, soy auxiliar administrativo en un Administrador de Fincas de Valencia con contrato fijo a 20 horas. Llevo 3 años en esta empresa y me veo capacitado para dar el salto y abrirme por mi cuenta ya que personas conocidas me están ofreciendo que lleve sus fincas.

Mi duda es la siguiente: si yo me diera de alta como autónomo para ejercer, ¿a mi empresa actual como le afectaría? En concreto a mi contrato fijo ¿No pagarían ellos mi Seguridad Social? ¿Les haría una factura por mis honorarios?

Gracias de antemano