Falta al trabajo 4 días sin avisar y al 4º...

Tengo un empleado que ha faltado 4 días al trabajo sin avisar ni responder a las llamadas telefónicas que se le hicieron.
Al 4º día se presento su pareja con un parte de baja fechado el mismo día que empezó a faltar. Se le ha prescrito reposo pero me han comunicado que lo han visto por la calle tan normal.
Lleva algún tiempo no rindiendo bien en el trabajo y creemos que el motivo es que quiere que lo despidamos en lugar de irse el, ya que hace algunas semanas se le comunico que si no cumplía un objetivo tendría que irse y el dijo que entonces tendríamos que despedirlo.
¿Se le puede despedir solo con la mensualidad que le corresponde?
Gracias.