Reducción de jornada por cuidado de familiar

Trabajo para una cadena de joyerías y en mi centro actual de trabajo somos tres personas, una en turnos de mañana (tiene una reducción de jornada por hijo menor a su cargo con esa concreción horaria), y otra compañera y yo, que hacemos turnos rotativos de mañana y tarde. He solicitado reducción de jornada por cuidado de familiar directo, en horario de mañana, (mi madre sufrió una hemorragia cerebral en febrero y no se vale por sí misma), aportando la documentación necesaria. La empresa tiene la posibilidad de ubicarme en otros centros de trabajo, pero dos días antes de la fecha propuesta para el comienzo de mi reducción me contestan vía burofax que aceptan mi solicitud pero la posponen un mes, hasta el 1 de octubre, ya que severía perjudicada la tercera trabajadora del centro, pasando a realizar sólo turnos de tarde. Esto nada se parece a la realidad, ya que la tercera persona de la que hablan no es siempre la misma ya que cambian constantemente a las trabajadoras de tienda, según las necesidades de la empresa y sin tener en cuenta para nada sus horarios, no tenemos calendario anual, nos dan los horarios de mes a mes y encima no los respetan en la mayoría de los casos.
El caso es que han contratado a una persona para trabajar en turnos de tarde en mi centro de trabajo hasta el mes de octubre y aún así no puedo empezar con mi jornada, simplemente porque no les da la gana.
Quería saber que opción tengo ya que aunque denuncie el tiempo se me echa encima, llegando la fecha impuesta por ellos para el comienzo de mi reducción, y me parece una tomadura de pelo y una falta de respeto a algo tan serio como la enfermedad de mi madre. Creo que de alguna forma mi empresa debería ser penalizada por esto.