Hola quiero resolver el sig problema de análisis matemático

Ni por sustitución ni por aprtes parece que vaya a salir, pero hay un truquillo que se usa a veces que consite en integrar dos veces por partes y llegar a lo del principio.

Sea

S = $sen(lnx)dx =

u = senln(x) ==> du = [cos(ln(x))/x] dx

dv = dx =====> v = x

= x·sen(ln(x)) - $ x[cos(ln(x))/x] dx = xsen(ln(x)) -$cos(ln(x))dx =

Integramos de nuevo por partes

u = cos(ln(x)) ==> du = -[sen(ln(x)) / x] dx

dv = dx ========> v = x

= xsen(ln(x)) - xcos(ln(x)) - $x[sen(ln(x)) / x] dx =

Cuidado que ese signo - delante de la integral es el producto de tres signos -, hay que fijarse bien:

= xsen(ln(x)) - xcos(ln(x)) - $sen(ln(x))dx =

Y vemos que nos aparece la integrla inicial que habíamos llamado S, luego

= xsen(ln(x)) - xcos(ln(x)) - S

En resumen

S = xsen(ln(x)) - xcos(ln(x)) - S

luego

2S = xsen(ln(x)) - xcos(ln(x))

S = [xsen(ln(x)) - xcos(ln(x))] / 2

o si se exprime al máximo

S = x[sen(ln(x)) - cos(ln(x))] / 2

Y eso es todo.