Momento de inercia lamina rectagular

Esto ya es Física, que no estudié tan apenas. No obstante, el momento de inercia de un cuerpo C que gira respecto de un eje es una integral

$$I=\int_C r^2dm$$

Donde r es la distancia de los puntos del cuerpo al eje y dm la masa del punto.

Si la densidad es constante el diferencial de masa es la densidad constante por el volumen del diferencial,

dm=densidad·dV

Si no es constante la densidad será una función que dependa de cada punto y el dm sera

dm=densidad(r)·dV

El ejercicio es una lámina rectangular de dimensiones a x b. Gira respecto del centro de masas que en este caso es el centro de la lámina.

Pongamos la lamina con el centro de masas en el punto (0,0), de modo que la lámina va desde -a/2 hasta a/2 en el eje X y desde -b/2 hasta b/2 en el eje Y

El momento de inercia es esta integral doble

$$\begin{align}&\int_{-a/2}^{a/2}\int_{-b/2}^{b/2}r^2dm =\\ &\\ &\int_{-a/2}^{a/2}\int_{-b/2}^{b/2}(x^2+y^2)kdydx =\\ &\\ &k \int_{-a/2}^{a/2}\int_{-b/2}^{b/2}(x^2+y^2)dydx =\\ &\\ &k\int_{-a/2}^{a/2}\left[x^2y+\frac{y^3}{3}  \right]_{-b/2}^{b/2} dx=\\ &\\ &k\int_{-a/2}^{a/2}\left(\frac b2 x^2+\frac{b^3}{24}-\frac {-b}2 x^2-\frac{-b^3}{24}\right)dx=\\ &\\ &k\int_{-a/2}^{a/2} \left(bx^2+\frac{b^3}{12}\right)dx=\\ &\\ &k\left[\frac {bx^3}{3}+\frac{b^3x}{12}\right]_{-a/2}^{a/2}=\\ &\\ &k \left(\frac{ba^3}{24}+\frac{b^3a}{24}-\frac{-ba^3}{24}- \frac{-b^3a}{24}\right)=\\ &\\ &k\left(\frac{a^3b}{12}+\frac{ab^3}{12}  \right)=\\ &\\ &\frac{k}{12}(a^3b+ab^3)\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.