Problema geometría analítica
Buenas tardes y muchas gracias de antemano. El pasado verano me ayudaste mucho con un problema y por eso he decidido volver a pedirte ayuda.
Necesitaría resolver un ejercicio concreto:
Los puntos A(1,-1) y B (3,2) son vértices de un triángulo de área 6 u^2. Determina el tercer vértice C, que está sobre la recta x-y-5=0
Muchas gracias!!
Tomaremos el lado AB como base del triángulo. Vamos a ver cuanto mide la base
AB = sqrt[(3-1)^2+(2+1)^2] = sqrt(13)
Sabemos que la base por la altura dividido por 2 tiene que ser 6, luego
h·sqrt(13) / 2 = 6
h = 12 / sqrt(13)
Luego debemos hallar un punto situado a esa distancia de la recta AB y que esté también en la recta x-y-5= 0
Vamos a hallar la ecuación general de la recta AB
(x-1) / (3-1) = (y+1) / (2+1)
3x-3 = 2y+2
3x - 2y - 5 = 0
Y la distancia de un punto (xo, yo) a esta recta es:
|3xo - 2yo - 5| / sqrt(3^2+2^2) =
|3xo - 2yo -5| / sqrt(13)
Que como debe ser la distancia que hemos calculado, se produce
|3xo - 2yo -5| / sqrt(13) = 12 / sqrt(13)
|3xo - 2yo - 5| = 12
Y por pertenecer a la recta tendremos
xo - yo -5 = 0
¿Qué pasa? Pues lo previsto con este tipo de problemas, que tiene dos soluciones, con el punto (xo, yo) situado a un lado u otro de AB.
Para calcular el primero suponemos que lo de dentro del valor absoluto es positivo: Por cierto, voy a usar (x, y) en lugar de (xo, yo), que donde no se pueden escribir subíndices es mejor que no los haya.
CASO 1º
3x - 2y - 5 = 12
x - y - 5 = 0
Segunda por (-3) se suma a la primera
y +10 = 12
y=2
x-2-5= 0
x=7
C=(7,2)
CASO 2º
Lo de dentro del valor absoluto es negativo, debe igualarse por tanto a -12
3x - 2y - 5 = -12
x - y - 5 = 0
Segunda por (-3) se suma a la primera
y +10 = -12
y=-22
x+22-5= 0
x = -17
C=(-17, -22)
Y eso es todo.
