Necesito saber cuantos litros de liquido hay en una barrica/bocoy que esta horizontal.

Para un cilindro es bastante complicado, para una barrica medio imposible. Dame las medidas, pero tienen que ser las de dentro o darme el grosor de la barrica. A lo mejor sirve un bombardeo de números aleatorios.

Hola Valeroasm, muchas gracias por tu rápida respuesta.

Las medidas de las que dispongo son estas;

* altura: 96 cm

* diámetro extremos: 56 cm

* diámetro vientre: 72 cm

* capacidad: 225 lt.

* grosor madera: 30 mm

Es bastante complicado, yo pensaba que las tablas del tonel tendrían una curva de circunferencia de radio bastante grande, pero a la vista del dibujo no me atrevo a asegurarlo.

Si tienes a mano ese tonel podrías decirme los centímetros exactos que tiene de lado a lado por dentro, metiendo el metro tal como harías para medir los litros. Y la altura que me des tiene que ser la interna entre tapa superior y tapa inferior por dentro y las circunferencias externas medidas en ese mismo punto, ahi puedes darme las externas y ya las traduciré yo a internas. Es decir lo de fuera no me interesa para nada, necesito saber las dimensiones de dentro.

Una vez sabidas intentaría ver que función se le puede dar a la tabla curvada para que salgan los 225 litros. Y una vez conseguida esa función ya se podrían calcular los litros a determinada altura.

Voy a suponer que por dentro se pierden 6cm por cada tapa, luego serían 84 cm de altura interna.

Para ver si esto es verosímil calculo el volumen del tonel pero suponiendo que en vez de paredes curvas fuesen dos rectas entre cada extremo y el centro.

El diámetro interno en las esquinas es 56 queda reducido a 50 y el radio es 25

El el centro es 72 reducido a 66 y el radio es 33

Esos 8 cm de incremento del radio se producen en 48 cm que hay de esquina al centro

A 6m de la esquina el radio será

25+8(6/48) = 26cm

Si ponemos donde empieza el barril por dentro en el eje Y tendremos el punto (0,26) y el punto central será (42,33)

La recta que une esos puntos es

y=26+(7/42x) = 26 + x/6

El volumen de revolución que genera ese segmento es:

$$\begin{align}&\pi\int_0^{42}\left(26+\frac x6\right)^2dx=\\ &\\ &\text{la calculo con ordenador aunque sea fácil}\\ &\\ &= 36722\pi\; cm^2\\ &\\ &\text{Eso era la mitad del volumen del tonel}\\ &\\ &V = 73444\pi \;cm^2=230731 cm^2= 230,731 \;l\end{align}$$

Como puedes ver me salen más litros y eso que el cálculo tomando la tabla como dos segmentos de recta tendría que haber dado menos litros.

Necesito que me des las medidas que te pedí, las de dentro, para poder hacer cálculos que sean un poco reales. Supongo que será que hay que descontar mas de 6cm de altura en cada lado.

Pongamos que el tonel tiene esta medidas por dentro.

A diámetro interno en el centro

B diámetro interno en los extremos internos

C longitud interna de tapa a tapa.

Haremos que la tabla tenga la forma de parábola para calcular mejor el volumen que con los segmentos de recta

Ponemos el tonel centrado en el origen. La ecuación de la tabla se calcula así.

El vértice de la parábola está en x=0 luego la ecuación será de la forma

y = d - e·x^2

y pasa por los puntos (0, a/2) y (c/2, b/2)

a/2 = d

b/2 = a/2 - e(c^2)/4

e = (a/2 - b/2) / [c^2 / 4] = 4(a-b) / (2c^2) = 2(a-b)/c^2

La ecuación de la parábola es:

$$\begin{align}&y = \frac a2 - \frac{2(a-b)x}{c^2}\\ &\\ &\text{Y el volumen del tonel será}\\ &\\ &V=2\pi\int_0^{c/2}\left(\frac a2 - \frac{2(a-b)x^2}{c^2}  \right)^2 dx=\\ &\\ &\\ &2\pi\int_0^{c/2}\left(\frac{a^2}{4}-\frac{2a(a-b)x^2}{c^2}+\frac{4(a-b)^2x^4}{c^4}  \right)dx=\\ &\\ &\\ &2\pi  \left[\frac{a^2x}{4}-\frac{2a(a-b)x^3}{3c^2}+\frac{4(a-b)^2x^5}{5c^4}  \right]_0^{c/2}=\\ &\\ &\\ &2\pi \left(\frac{a^2c}{8}- \frac{2a(a-b)c}{24}+\frac{4(a-b)^2c}{160}  \right) =\\ &\\ &\\ &\pi\left(\frac{a^2c}{4}-\frac{a^2c-abc}{6}+\frac{a^2c+b^2c-2abc}{20}  \right)=\\ &\\ &\\ &\pi\left(\frac{15a^2c+10a^2c+10abc+3a^2c+3b^2c-6abc}{60}  \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{c\pi}{60}(8a^2+4ab+3b^2)\end{align}$$

Es un poco pesado escribir los pasos, pero podemos calcular la ecuación de la superficie de revolución generada por el giro de esa parábola que es

$$z= \pm \sqrt{\left(\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\right)^2-y^2}$$

Con esa ecuación se puede calcular el volumen aproximado para diferentes alturas de z. Es necesario calcular los cortes de esta superficie con planos paralelos para conocer el dominio de integración

El corte con un plano z= k será

$$\begin{align}&k= \pm \sqrt{\left(\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\right)^2-y^2}\\ &\\ &k^2 = \left(\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\right)^2-y^2\\ &\\ &y =\pm \sqrt{\left(\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\right)^2-k^2}\\ &\end{align}$$

El plano no corta a la tapa cuando la constante k es k€[b/2, a/2]

Entonces los límites de integración en x se dan cuando y=0

$$\begin{align}&0 =\pm \sqrt{\left(\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\right)^2-k^2}\\ &\\ &k^2=\left(\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\right)^2\\ &\\ &k=\frac a2-\frac{2(a-b)x}{c^2}\\ &\\ &\\ &x=\pm \frac{\left(\frac{a}{2}-k\right)c^2}{2(a-b)}=\pm \frac{(a-2k)c^2}{4(a-b)}\\ &\end{align}$$

Mientras que cuando el plano corta a la tapa los límites de integración son fijos

x € (-c/2, c/2)

La integral doble que calcula el volumen seguramente no es fácil, pero un ordenador si puede hacerla y te podría dar los resultados de los litros de cada centímetro.

Pero lo que necesito son los valores de a, b y c calculados con la mayor precisión posible.

Deberán ser tales que

$$\frac{c\pi}{60}(8a^2+4ab+3b^2)\approx 225000$$

Yo había supuesto

a=66

b=52

c=84 y el resultado es

$$\begin{align}&\frac{84\pi}{60}(8·66^2+4·52·66+3·52^2)=\\ &\\ &\frac{84\pi}{60}56688 = 249326.8461 cm^3=249.3268\; litros\end{align}$$

Y nos pasamos casi en 25 litros, luego necesito los valores reales por dentro del tonel.

Finaliza la pregunta puntuándola. Me llevó mucho trabajo. Si me mandas los datos más exactos hazlo en una pregunta nueva.