En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias
500 bacterias que comenzaron a reproducirse.La poblacion de bacterias crecio hasta alcanzar un maximo y luego comenzo a decrecer de manera que su dinamica esta gobernada por la formula f(t)= -t^2+40t+500 , donde#"t" es el tiempo en minutos
a) ¿ al cabo de cuantos minutos la poblacion de bacterias alcanzo su maximo? ¿Cuantas bacterias hubo en ese momento?
b) ¿ se extingue la poblacion de las bacterias? Si es asi, Cuando ocurre?
1 respuesta
a) Para calcular el máximo debemos igualar a cero la derivada de la función
f(t) = -t^2 + 40t + 500
f '(t) = -2t + 40 = 0
-2t = -40
t = 20
Como la derivada segunda es f ''(t) =-2 que es siempre negativa, el punto es un máximo.
Luego el máximo se da a los 5 minutos
Y la cantidad de bacterias es
f(5) = -5^2 + 40·5 + 500 = -25 + 200 + 500 = 675
b) Si, se extingue, una parábola hacia abajo con vértice positivo pasa dos veces por el 0.
Calcularemos las raíces de la función
-t^2 + 40t + 500 = 0
cambiamos de signo que es más sencillo
t^2 - 40t - 500 = 0
$$\begin{align}&t=\frac{40\pm \sqrt{40^2+4·500}}{2}=\\ &\\ &\frac{40\pm \sqrt{3600}}{2}= \frac{40\pm 60}{2}=\\ &\\ &-10\; y\; 50\end{align}$$el -10 no tiene sentido en este problema, luego se extingue a los 50 minutos.
Y eso es todo.
