Transformación lineal es diagonalizable.. Ayuda por favor
a) Verifique si la transformación lineal F: P2-->P2 definida como:
F=(p(t)) = (t^2-1)p(1)+(t+1)p'(1) es diagonalizable
b) Encuentre la matriz no singular P y la matriz diagonal D, que diagonalicen la matriz .
2 1 3
A= 1 1 4
3 4 2
Compruebe que D = P^-1 AP
Vamos a calcular la matriz de la aplicación lineal calculando la imagen de la base canónica
F(1) = (t^2-1)·1 +(t+1)·0 = t^2 -1 en coordenadas (1,0,-1)
F(t) = (t^2-1)·1 + (t+1)·1 = t^2+t en coordenadas (1,1,0)
F(t^2) = (t^2-1)·1 + (t+1)·2 = t^2 +t+1 en coordenadas (1,1,1)
La matriz son las coordenadas de las imágenes puestas por columnas
$$M=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
1&0&1\\
\end{pmatrix}
\\
\text{el polinomio característico es}
\\
\begin{vmatrix}
1-x&1&1\\
0&1-x&1\\
1&0&1-x\\
\end{vmatrix}=0
\\
(1-x)^3-(1-x)=0
\\
(1-x)[(1-x)^2-1] = 0
\\
(1-x)(1+x^2-2x-1) = 0
\\
(1-x)x(x-2)=0$$Los valores propios son 1, 0 y 2.
Son todos distintos, entonces la matriz es diagonalizable por lo que se sabe de la teoría.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.
La norma es contestar un ejercicio por pregunta. El apartado b no tiene nada que ver con el primero y aparte son ejercicios de suficiente entidad cada uno por separado. Si quieres que lo conteste mándalo en otra pregunta.
