Ayuda con integral por favor
La
función de ingresos de una compañía está dada por I(x,y)= 100x-6x2+192y-4y2,
mientras que su función de costo es C(x,y)=2x2+2y2+4xy-8x+30,
en donde x y y denotan el número de artículos vendidos de dos productos.
Determina la utilidad máxima (Sugerencia: utilidad=ingreso-costo).
1 Respuesta
Calculamos la función utilidad
U(x,y) = I(x,y) - C(x,y) = 100x - 6x^2 + 192y - 4y^2 - (2x^2 + 2y^2 + 4xy - 8x + 30) =
-8x^2 - 6y^2 - 4xy + 108x + 192y - 30
Los máximos, mínimos o lo que sea estarán donde las derivadas parciales sean cero
Ux(x,y) = -16x - 4y + 108 = 0
Uy(x,y) = -12y -4x +192 = 0
multiplicamos la primera por -3
48x + 12y - 324 = 0
y la sumamos con la segunda
44x - 132 =0
44x= 132
x=3
ahora calculamos y
-16·3 - 4y + 108 = 0
-48 - 4y +108 = 0
4y = 60
y = 15
El punto crítico es (3, 15)
A lo mejor en economía no lo hacéis, pero en matemáticas es imprescindible averiguar si es un máximo o no. Para ello calculamos las derivadas segundas
Uxx(x,y) = -16
Uxy(x,y) = Uyx(x,y) = -4
Uyy(x,y) =-12
El Hessiano es
(-16 -4) ( -4 -12)
El menor de orden 1 es -16 < 0
El menor de orden 2 es (-16)(-12) - (-4)(-4) = 192 - 8 = 184 >0
En esas condiciones el punto crítico es un máximo.
Luego el máximo se da cuando x=3 e y= 15 y su valor es
U(x, y) = -8x^2 - 6y^2 - 4xy + 108x + 192y - 30
U(3,15) = -72 - 6·225 - 180 + 324 + 192·15 = 1602
Y eso es todo.
Ue te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.
