Me pueden ayudar como se resuelve estos ejercicios

1)

Pongamos los planos en la forma igualados a 0

Pi1 : x+y-z-1=0

Pi2 : x+2y+ z - 4=0

Si un punto pertenece al plano Pi1 también cumple

a(x+y-z-1) = 0 para cualquier a €R

Y si también pertenece a Pi2 verifica

x+2y+z-4= 0

Y verifica que la suma de esas dos expresiones es 0

a(x+y-z-1) + x+2y+z-4= 0

Esa expresión con parámetro a es un haz de planos que cumplen Pi1 y Pi2, cada uno de ellos contiene la recta común de Pi1 y Pi2)

Y ahora vamos a ver cual de ellos pasa por (2,1,1)

a(2+1-1-1) + 2 + 2 + 1 - 4 = 0

a +1 =0

a=-1

Con lo cual el plano es

-1·(x+y-z-1) + x + 2y + z - 4 = 0

y + 2z - 3 = 0

2) No hay un solo plano perpendicular a un plano, son infinitos. Es más, en este caso aún más pues no dependen de uno sino de dos parámetros

La única condición para que un plano sea perpendicular al plano dado es que los vectores directores de los dos planos sean perpendiculares

El vector director de pi1 : -x +2y+z=4 es (-1, 2, 1)

sea (A,B,C) el vector director del plano perpendicular.

debe verificarse que el producto escalar es 0

(-1,2,1)(A,B,C) = -A+2B+C = 0

Tomando B y C como parámetro

A = 2B+C

Para que no haya vectores directores proporcionales haremos que C solo pueda tomar valores 0 o 1. Esto da dos clases de vectores

(2B, B, 0)

(2B+1, B, 1)

Y luego está el valor D de la ecuación del plana que puede ser cualquiera. Con lo cual el conjunto de planos perpendiculares a Pi1 tiene cualquiera de estas dos formas

2Bx + By + D = 0 para todo B,D € R con B distinto de 0

(2B+1)x + By + z + D = 0 para todo B,D € R

Por ejemplo

2x+y = 0

x+z+1 = 0