Demuestra que el cubo de cualquier entero es de la forma 7k o 7k+1 o 7k-1

ese es otro de los problemas que el profesor nos dio

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Repasando el ejercicio anterior vi alguna errata de escritura y un sitio donde ponía 0^2=1 pero que no afectaba al resultado final.

Vamos con este:

Sea el número n^3

La mecánica suele ser parecida, si nos dicen que la forma es 7k o 7k+1 o 7k-1 lo primero que se me ocurre es poner el número n como 7 por algo más el resto

n = 7i+j con j=0,1,2,3,4,5,6

n^3 = (7i+j)^3 = (7^3)·(i^3) + 3(7^2)·i^2·j + 3·7ij^2 + j^3

Y ahora dividiendo por 7 nos damos cuenta que los tres primeros sumandos son múltiplos de 7, luego al dividir dan cociente entero. Entonces el resto de la división solo depende del cuarto sumando que es j^3

Y ahora comprobamos cuales son los restos posibles. Como j solo puede valer de 0 a 6 no es tan largo comprobarlo:

0^3 = 0

1^3 = 1

2^3 = 8 cuyo resto al dividir por 7 es 1

3^3 = 27 cuyo resto será 27-21=6

4^3 = 64 cuyo resto será 64-63=1

5^3 = 125 cuyo resto es 125-119 = 6  luego lo explicare mejor

6^3 = 216 cuyo resto es 216-210 = 6 y también lo explicaré

Para calcular el resto de 5^3 se hace así: 5^2 = 25, resto de dividir por 7 = 25-21=4, 4 por 5 =20 y el resto es 6

Y el resto de 6^3 se hace igual 6^2 = 36, el resto es 1 y 1 por 6 = 6, resto 6.

En resumen que los restos posibles de un cubo dividido por 7 son 0,1 y 6. Que hace que esos cubos tengan la forma 7k, 7k+1 o 7k-1 respectivamente.

Y eso es todo.

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