Problema de arranque en VW Passat 1.9 del 2000

Hola, tengo un Passat diésel 1.9 TDI del 2000 algo trillado (300.000 km). Sé que son muchos kilómetros, pero me gustaría poder sacarle al coche todo el jugo que le quede. La cuestión es que desde hace un tiempo le cuesta arrancar en los días fríos. Hay días que aunque sean muy fríos arranca a la primera, y otras que da problemas. El día que da problemas lo que hace es que el motor de arranque suena bien y contundente, y arranca, y al medio segundo se para. Vuelvo a girar la llave y suena el motor de arranque intentando arrancar unos segundos... Hasta que empieza a sonar algún pistón... Luego alguno más.... Y finalmente arranca. Finalmente siempre arranca a la segunda o la tercera como muy tarde, pero me gustaría saber qué podría ser. Ya he cambiado los calentadores y la batería, y sigue con el mismo problema en días fríos... Porque en días calientes va como la seda para arrancar.

Por supuesto, una vez arrancado, por mucho que le haya costado, el coche va sin problemas de ningún tipo.