|
|
Hola:
Es la definición genérica de continuidad que se da en Topología, lo que se pide es demostrar la equivalencia con la que se da normalmente en Cálculo.
=> Supongamos f contínua. Sea U un conjunto abierto. Como f es contínua, para todo punto a, se verifica que si x->a, f(x)->f(a). Por otro lado, f^-1(U) = {x | f(x) pertenece a U} = V. Sea ahora un punto a cualquiera de V. Entonces f(a) pertenece a U, lo que significa que existe una m-bola inclída en U que contiene a f(a). Pero por densidad de la topología, existe una m-bola B dentro de la primera que tiene centro en f(a) (y B inclído en U). Sea r el radio de B. Por continuidad de f (aplicada al punto a), existe un d>0 tal que, para todo x, si ||x-a||<d, entonces ||f(x)-f(a)||<r. Cada punto x que cumple ||x-a||<d, cumple f(x) dentro de U y, por tanto, x pertenece a V, lo que significa que la n-bola de centro a y radio d está incluída completamente en V, y a pertence a esta n-bola. Por tanto, V es un conjunto abierto.
<= Supongamos ahora que Si U es abierto en Rm, entonces f^-1(U) es abierto también, en Rn. Sea a un punto y € un número real positivo, €>0. Sea U = {y | ||y-f(a)||<€}, que es un conjunto abierto, pues es incluso un elemento de la base topológica. Por tanto, f^-1(U) es abierto en Rm, y llamemos V a este abierto. V = {x | f(x) pertenece a U}. Para empezar, a pertenece a V, es evidente. Entonces, como V es abierto, existe un real d>0 tal que la n-bola B de centro a y radio r está incluída en V. Si ||x-a||<d , entonces x pertenece a B, y entonces x pertenece a V, y por tanto, f(x) pertenece a U y, por tanto, ||f(x)-f(a)||<€.
Esto concluye la demostración.
Saludos.
DM
|