Voy a seguir lo mío...(en realidad tu error no lo ví en el desarrollo del cubo, sino cuando distribuiste el 2/3)
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(5(-2+\frac{9}{n}i)^3+\frac{2}{3}(-2+\frac{9}{n}i)^2\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(5(-8+\frac{108}{n}i- \frac{162}{n^2}i^2+\frac{729}{n^3}i^3)+\frac{2}{3}(4-\frac{36}{n}i+\frac{81}{n^2}i^2)\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg((-40+\frac{540}{n}i-\frac{810}{n^2}i^2+\frac{3645}{n^3}i^3)+(\frac{8}{3}-\frac{24}{n}i+\frac{54}{n^2}i^2)\bigg)= \\&\text{(....Hasta acá había llegado antes)}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(-\frac{112}{3}+\frac{516}{n}i-\frac{756}{n^2}i^2+\frac{3645}{n^3}i^3\bigg)= \\&\text{En el paso siguiente, creo que olvidaste la sumatoria del primer factor}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \bigg(-\frac{112}{3}\sum_{i=1}^n 1+\frac{516}{n} \sum_{i=1}^n i-\frac{756}{n^2}\sum_{i=1}^n i^2+\frac{3645}{n^3}\sum_{i=1}^n i^3\bigg)= \\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \bigg(-\frac{112n}{3}+\frac{516n(n+1)}{2n}-\frac{756n(n+1)(2n+1)}{6n^2}+\frac{3645n^2(n+1)^2}{4n^3}\bigg)= \\&\lim_{n \to \infty} \bigg(-336+\frac{2322(n+1)}{n}-\frac{1134(n+1)(2n+1))}{6n^2}+\frac{32805n^2(n+1)^2}{4n^4}\bigg)= \end{align}$$
Te lo dejo desde ahí para que lo sigas, pero fijate que 'sobreviven' al límite todos los términos menos el último
Salu2