Utiliza inducción matemática para demostrar que 1+q+⋯+q^(n-1)=q^(n-1)/(q-1)

Ok, pero primero voy a escribir la suma de la izquierda de otra forma (solo para simplificar la notación, pero es equivalente

$$\begin{align}&1+q+q^2+...+q^{n-1}= \sum_{i=0}^{n-1}q^{i}\\&\text{Así que lo que quieres demostrar es que:}\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^{i} = \frac{q^{n-1}}{q-1} .......\forall q \ne1\\&Caso \ base (n=1)\\&\sum_{i=0}^{1-1}q^{i}= \sum_{i=0}^{0}q^{i}=q^0=1\\&Pero\\&\frac{q^{n-1}}{q-1}=\frac{q^{1-1}}{q-1} = \frac{0}{q-1}=0 \text{ Obviamente es distinto, por lo que creo que en realidad lo que quieres demostrar es que:}\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^{i} = \frac{q^{n}-1}{q-1} .......\forall q \ne1\\&\text{Para n=1, ya tenemos el lado izquierdo, ahora veamos cuanto vale lo de la derecha}\\&\frac{q^{n}-1}{q-1}=\frac{q^{1}-1}{q-1} = 1 \text{....ahora sí VALE!}\\&\text{Veamos si  }P(n) \to P(n+1), o\ sea:\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^{i} = \frac{q^{n}-1}{q-1} \to  \sum_{i=0}^{n}q^{i} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}  .......\forall q \ne1\\&\sum_{i=0}^{n}q^{i} = \sum_{i=0}^{n-1}q^{i} + q^n = (por\ inducción)\\&=\frac{q^{n}-1}{q-1}+q^n=\frac{q^{n}-1 + q^n(q-1)}{q-1}=\frac{q^{n}(1+q-1)-1}{q-1}=\\&\frac{q^{n}q-1}{q-1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}!!! \text{ (Que es lo que queríamos demostrar)}\\&\end{align}$$

Salu2