Teorema de Green en elipse
Como hago para aplicar el teorema de Green siendo F=(4y,-3x) y la region es un elipse 2x^2 + y^2 =4 recorrida en sentido antihorario?
¿Y si lo tengo que hacer como una integral de línea?
Yo lo intente pero tengo duda en su aparametrizacion, si podría mostrarme como lo resolvieron seria genial
1 respuesta
Respuesta de Lucas m
4
;)
Hola Carlos Vertiz!
Como la elipse es una curva cerrada, simple, y P(x, y)=4y i Q(x, y)=-3x tiene derivadas parciales continuas, podemos aplicar el Teorema de Grenn.
$$\begin{align}&\oint_cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_R\Big( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y} \Big) dx \ dy\\&\\&F=(P,Q)=(4y,-3x)\\&\\&\oint 4ydx-3xdy=\iint _R \Big ( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y} \Big) dx \ dy\\&\\&Empecemos \ con \ la \ integral \ doble\ sobre \ \ 2x^2+y^2=4\\&\\&\frac{\partial Q}{\partial x}=-3\\&\\& \frac{\partial P}{\partial y}=4\\&\\&Cortes\ con \ el \ eje X:==> y=0==>2x^2=4==>x= \pm \sqrt 2\\&\\&\iint_R(-3-4)dxdy=\int_{- \sqrt 2}^{\sqrt 2} \int _{- \sqrt{4-2x^2}}^{\sqrt{4-2x^2}}(-7)dydx=(*)\\&\\&\text{esta integral se facilita con un cambio de variable a polares generalizado}\\&\\&\sqrt 2 \ x=rcos \theta==>x= \frac r {\sqrt 2}\cos \theta\\&\\&y=r\ \sin \theta\\&Jacobiano:(te \ lo \ dejo \ para\ ti)= \frac r {\sqrt 2}\\&\\&La \ elipse \ en \ esas \ polares: 2x^2+y^2=4\\&2(\frac r { \sqrt 2}\cos \theta)^2+(r\ sen \theta)^2=4==> r^2cos^2 \theta+r^2 \sin^2 \theta=4\\&r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)=4\\&r^2=4\\&r=2\\&\\&(*)= \int _0^{2 \pi} \int_0^2 -7 \frac r { \sqrt 2} dr\ d \theta=- \frac 7{ \sqrt 2} \int_0^{2 \pi} \frac{r^2} 2 \Bigg| _0^2 d \theta=\\&\\& - \frac 7 {\sqrt 2 } \int_0^{2 \pi}2 d \theta=- \frac {14}{\sqrt 2} 2 \pi=-14 \sqrt 2 \ \ \pi\\&\\&\\&\oint 4ydx-3xdy=\\&\\&Parametrización\ elipse\\&\frac{x^2}2+ \frac{y^2} 4=1\\&\\&\frac x {\sqrt 2}=cost\\&\\&\frac y 2=sint\\&\\&x= \sqrt 2 \ \ cost\\&y= 2 \ \ sint\\&curva\ parametrizada:\\&\varphi(t)=( \sqrt 2 \ cost,\ 2 \ sint )\\&\varphi'(t)=(- \sqrt 2 \ sint, \ 2 cost)\\&\\&\oint 4ydx-3xdy=\int_0^{2 \pi}\Bigg[4(2 sint)(- \sqrt 2 \ sint)-3( \sqrt 2 cost)(2cost)\Bigg]dt=\\&\\&-8 \sqrt 2 \int_0^{2 \pi} \sin^2t\ \ dt- \ 6 \sqrt 2 \ \int_0^{2 \pi}\cos^2t=\\&\\&-8 \sqrt 2 \Bigg[ \frac t 2-\frac{\sin (2t)} 4 \Bigg]_0^{2 \pi}- 6 \sqrt 2 \Bigg[ \frac t 2+ \frac {\sin(2t)} 4 \Bigg]_0^{2 \pi}=\\&\\&-8\ \sqrt 2 \Big( \pi-0\Big)- 6 \sqrt 2 \Big( \pi-0\Big)=-14 \sqrt 2 \ \pi\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Vota Excelente si quieres recibir mis respuestas.
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