Dadas la siguiente ecuación obtener la ecuación en forma canónica de la correspondiente elipse

;)
Hola Yani Juarez!

Completando cuadrados:

$$\begin{align}&(16x^2+160x)+(25y^2+200y)+400=0\\&16(x^2+10x)+25(y^2+8y)+400=0\\&\\&\text{cada uno de esos binomios proviene de los siguientes cuadrados:}\\&\\&x^2+10x=(x+5)^2-25\\&y^2+8y=(y+4)^2-16\\&\\&luego\ la ecuación \ queda:\\&16[(x+5)^2-25]+25[(y+4)^2-16]+400=0\\&\\&16(x+5)^2-400+25(y+4)^2-400+400=0\\&16(x+5)^2+25(y+4)^2=400\\&\\&dividiendo\ por \ 400\\&\frac{16(x+5)^2}{400}+\frac{25(y+4)^2}{400}=1\\&\\&\frac{(x+5)^2}{\frac{400}{16}}+\frac{(y+4)^2}{\frac{400}{25}}=1\\&\\&\frac{(x+5)^2}{25}+\frac{(y+4)^2}{16}=1\\&\\&\end{align}$$

Es una elipse horizontal, lo sabemos porque a=5 (semieje mayor)está en la fracción de la x.

b=4 (semieje menor)

Centro (-5,-4)

Vértices en el eje mayor (el eje mayor se encuentra en y=-4)

V=(-5+a,-4)=(0,-4)    ;   V=(-5-a,-4)=(-10,-4)

Vértices en el eje menor:    (el eje menor se encuentra en la recta   x=-5)

V'=(-5,-4+b)=(-5,0)     ;  V'=(-5,-4-b)=(-5,-8)

semidistancia  focal:

$$\begin{align}&a^2=b^2+c^2\\&\\&c^2=a^2-b^2=25-16=9\\&c=3\\&\\&\end{align}$$

Focos, se encuentran en el eje mayor  y=-4

F=(-5+c,-4)=(-2,-4)

F'=(-5-c,-4)=(-8,-4)

El lado recto es la recta perpendicular al eje mayor que pasa por los focos.

En F=(-2,-4)  buscamos la intersección de la recta x=-2 con la elipse:

$$\begin{align}&\\&\frac{(x+5)^2}{25}+\frac{(y+4)^2}{16}=1\\&\\&\\&x=-2\\&\\&\\&\frac{(-2+5)^2}{25}+\frac{(y+4)^2}{16}=1\\&\\&\frac 9 {25}+\frac{(y+4)^2}{16}=1\\&\\&\frac{(y+4)^2}{16}=1- \frac  9{25}\\&\\&\frac{(y+4)^2}{16}=\frac{16}{25}\\&\\&(y+4)^2= \frac {16^2}{25}\\&==>\\&y+4= \frac {16} 5==> y=\frac{16} 5-4=- \frac 4 5 ==>P=(-2, - \frac 4 5)\\&\\&y+4= -\frac {16} 5==> y=-\frac{16} 5-4=- \frac {36}5 ==>P'=(-2, - \frac {36} 5)\\&\\&\text{Por simetría en el otro foco, los  puntos de intersección con su lado recto , serán}\\&\\&Q=(-8,- \frac 4 5)\\&\\&Q'=(-8,- \frac{36} 5)\\&\\&\\&\end{align}$$

Saludos

;)

;)