6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta:Un punto ordinario

¡H o la Oscar!

Lo primero es poner la ecuación diferencial en la forma de la definición, para ello la dividimos entre x

$$\begin{align}&y''+\frac{e^{x^2}}{x}+y=0\\&\\&luego\\&\\&f(x)=\frac{e^{x^2}}{x}\\&\\&g(x)=1\\&\\&g(x)\text { es analítica claramente}\\&\\&g(x)=x^0-0=1\end{align}$$

Pero la función f(x) no es analítica para x=0 ya que si lo fuera sería infinitamente derivable en un entorno de 0 y los coeficientes de la serie de Taylor serían los de la serie de potencias.  Tanto la función f(x) como las derivadas no existen para x=0, luego no es análitica allí.

Por lo tanto x=0 es un punto singular. Para que sea regular debe cumplirse que las funciones

$$\begin{align}&x·f(x)\\&\\&x^2·g(x)\\&\\&\text{sean analíticas}\\&\\&x·f(x) = x· \frac{e^{x^2}}{x}= e^{x^2}\\&\\&x^2·g(x) = x^2·1 = x^2\end{align}$$

Y estas dos funciones son analíticas en x=0, luego x=0 es un punto singular regular.

Por lo tanto la respuesta es la d), x=0 es un punto singular regular y los demás son ordinarios.

Eso es todo, sa lu dos.

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