Ecuación diofántica con términos a la cuarta

Consiste en hallar las soluciones enteras de la ecuación

x^4+x^3+x^2+x = y^2+y

Si despejamos y tendremos:

$$\begin{align}&y=\frac{-1\pm \sqrt{1+4(x^4+x^3+x^2+x)}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{4x^4+4x^3+4x^2+4x+1}}{2}\\&\\&\text{Para que y sea entera el radicando debe ser un cuadrado perfecto,}\\&\text{aparte la raíz cuadrada deberá ser impar}\\&\\&\text{1. Si }x=0\implies y=\{0,\;-1\}\\&\\&\text {2.  Si }x\gt 0\\&\\&(2x^2+x)^2=4x^2+4x^3+x^2\lt 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&(2x^2+x+2)^2=4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x=\\&4x^4+4x^3+9x^2+4x+4\gt 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&\\&\text {así pues}\\&(2x^2+x)^2\lt 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1 \lt (2x^2+x+2)^2\\&\\&\text{Luego la raíz cuadrada exacta deberá ser }2x^2+x+1\\&\text{Por lo tanto debe cumplirse}\\&\\&(2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&4x^4+x^2+1+4x^3+4x^2+2x=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&4x^4+4x^3+5x^2+2x+1=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&5x^2+2x=4x^2+4x\\&x^2=2x\\&x^2-2x=0\\&x(x-2)=0\\&x=0\quad \text{ ya lo vimos antes}\\&x=2\implies y=\frac{-1\pm \sqrt{1+4(16+8+4+2)}}{2}=\{5,\;-6\}\\&\\&\text{Si }x<0\\&\\&(2x^2+x+1)^2 = 4x^4+4x^3+5x^2+2x+1>4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&\text{ya  que con }5x^2 \text{ sumamos más y con 2x restamos menos}\\&\\&(2x^2+x-1)^2 =4x^4+4x^3-3x^2+2x+1\\&\text{Veamos si es menor}\\&4x^4+4x^3-3x^2-2x+1\lt 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&-7x^2-6x \lt 0\\&7x^2+6x\gt0\\&\text{como estaremos con el caso }x\lt-1\\&7x+6\lt0\\&\text{y eso se cumple para todo }x\le-1\\&\text{luego}\\&(2x^2+x-1)^2\lt 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\lt (2x^2+x+1)^2\\&\text{Y la raíz cuadrada entera deberá ser }\;2x^2+x\\&(2x^2+x)^2=4x^4+4x^3+x^2\\&\text{Debe cumplirse}\\&4x^4+4x^3+x^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1\\&3x^2+4x+1=0\\&\\&x=\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\{-3,\;-1\}\\&\\&\text{Para x=-3 tenemos que y no es entera}\\&y=\frac{-1\pm \sqrt{4(81-27+9-3)+1}}{2}= \frac{-1\pm \sqrt{241}}{2}\\&\text{Para y=-1 sí}\\&y=\frac{-1\pm \sqrt{4(1-1+1-1)+1}}{2}=\{-1,\;0 \}\\&\\&\text{Resumiendo, todas las respuestas (x, y) son}\\&(0,0), \quad(0,-1),\quad (2,5),\quad (2,-6),\quad(-1,-1),\quad (-1,0)\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$