Demostrar la rapidez, aceleración y desplazamiento de un auto de masa m
Un motor de un automóvil que tiene una masa m, alimenta una potencia constante para acelerar el auto. Ignorando la fricción de las ruedas y la resistencia del aire, considerando que el auto inicialmente se encuentra en reposo. Mostrar que:
a) La rapidez del auto en función del tiempo es
$$\begin{align}&v=(2Pt/m)^{1/2}\end{align}$$b) Mostrar que la aceleracion del auto no es constante y varía en funcion del tiempo como:
$$\begin{align}&(P/2mt)^{1/2}\end{align}$$c) Mostrar que el desplazamiento del vehiculo esta dado por
$$\begin{align}&x=x_0+(8P/9m)^{1/2}t^{3/2}\end{align}$$
- a)
E.C. = 1/2 m (velocidad)^2 = Potencia x tiempo........v^2= 2 P t / m....de donde:
v= (2Pt/m)^1/2= v(t).
- b) aceleracion = dv/dt = d((2Pt/m)^1/2) / dt ............la derivada te esta dando:
dv/dt = (2Pt/m)^1/2 / 2t .....que la simp'lificas y llegas a aceleracion = (P/2mt)^1/2
Ahora: Para el espacio procede integrar la velocidad:
Integral entre Xo y … (2Pt/m)^1/2 dt = Xo + (2P/m)^1/2 x (2/3) t^3/2 =
= Xo + 1/3 ( 2^3/2)(2P/m) ^1/2 . t^3/2 ......seria a lo que llego yo...tambien algo diferente a tu respuesta.
1 respuesta más de otro experto
Tenemos que la velocidad (v) es la derivada de la posición (x), y la aceleración (a) la derivada segunda de la posición o sea, la derivada de la velocidad, dicho esto, tenemos que
$$\begin{align}&v(t) = (\frac{2 P t}{m})^{1/2}\\&a(t) = v'(t) = \frac{1}{2}(\frac{2 P t}{m})^{-1/2}\cdot \frac{2P}m = \\&\frac{P}{m}(\frac{1}{\sqrt{\frac{2 P t}{m}}}) = \text{ (inicialmente no se parece a lo tuyo, pero vamos a racionalizar la expresión a ver...)}\\&\frac{P}{m}(\frac{1}{\sqrt{\frac{2 P t}{m}}}) \cdot \frac{\sqrt{\frac{2 P t}{m}}}{\sqrt{\frac{2 P t}{m}}}=\\&\frac{P}{m} \cdot \frac{\sqrt{\frac{2 P t}{m}}}{\frac{2 P t}{m}}= \frac{\sqrt{\frac{2 P t}{m}}}{2 t} \text{ (se parece bastante más, pero igualmente no es lo mismo, así que te pido que revises el enunciado y mis cálculos para ver si cometí algun error)}\\&\text{Respecto a la posición, es la integral de la velocidad, así que}\\&x(t) = \int v(t) = \int (\frac{2 P t}{m})^{1/2} dt=\bigg({\frac{2P}m }\bigg)^{1/2} \int (t)^{1/2} dt=\\&\bigg({\frac{2P}m }\bigg)^{1/2} \cdot t ^{3/2} \frac{2}{3}+C\end{align}$$Tampoco los veo igual...
Salu2