Raíz de un número complejo

Para este tipo de cálculos( multiplicaciones, divisiones y más incluso para raices y potencias) es mucho más cómodo usar la forma polar de un número complejo. La forma polar consiste en utilizar el módulo y el argumento del número complejo en cuestión.

Por ejemplo (1-i) 

Su módulo es raíz de 2 y su ángulo es -45º( o 315º)

Para hacer esto es útil imaginarte el número complejo como un vector desde el origen hasta el punto, que tiene cierto módulo y ángulo con el eje x(positivo) .

El módulo sería usando el teorema de Pitágoras la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado ( sin la "i") :

Y el ángulo la arcotangente de la parte imaginaria entre la parte real, ( pero para el signo fijate en el cuadrante en que está el vector al dibujarlo.

Para el de (sqrt(3)+i) :

$$\begin{align}&z=\sqrt 3+i \\&\\&módulo z=\sqrt {\sqrt 3^2+1^2}=\sqrt {3+1}=2\\&argz=arctan \frac{1}{\sqrt 3}=30º\end{align}$$

Y así llegamos al primer paso que hacen.

¿Sabrías seguir? Inténtalo y sino pregunta!

;)
Hola teresa!

Una vez que el anterior experto ha obtenido la forma polar del numerador y denominador

Los vamos a dividir: para dividir complejos en forma polar se dividen los módulos y se restan los

Argumentos

$$\begin{align}&\frac{r_{\alpha}}{s_{\beta}}=\Big(\frac r s\Big)_{\alpha -\beta}\\&\\&\frac{ \sqrt 2_{315º}}{2_{30º}}= \Big( \frac { \sqrt 2} 2 \Big)_{315º-30º}=\Big( \frac 1 { \sqrt 2} \Big)_{285º}\end{align}$$

Ahora hacemos la raíz cúbica de ese complejo. Para calcular la raíz n-ésima de un complejo en forma polar:

Hacemos la raíz n-ésima del módulo; y los argumentos se calculan con la fórmula (ver teoría):

$$\begin{align}&\beta= \frac{ \alpha + k·360º} n\\&\\&con \ k=0 \  \ , \ \ 1\ \ \,,2·······(n-1)\\&\\&Es \ decir:\\&\\&\sqrt[n] {r_{\alpha}}=\Big ( \sqrt [n] r \Big)_{\frac{ \alpha + k·360º} n}\\&\\&\ \Big( \sqrt[3]{ \frac 1{\sqrt 2} } \ \Big)_{\frac{285º+k·360º} 3}= \Big( \sqrt[6] \frac 1 2 \ \ \Big)_{\frac{285º+k·360º} 3}\\&\\&k=0==> \Big( \sqrt[6] \frac 1 2 \ \ \Big)_{95º}\\&\\&k=1 ===> \Big( \sqrt[6] \frac 1 2 \ \ \Big)_{215º}\\&\\&k=2 ===>\Big( \sqrt[6] \frac 1 2 \ \ \Big)_{335º}\end{align}$$

Saludos yrecuerda votar a todos los expertos

;)

;)