Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.
Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los
extremos. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Considere la densidad
lineal como:
Voy a llamar a la densidad lineal "D".
Podemos expresar el diferencial de masa así (pues la densidad es masa entre longitud, si despejamos...)
$$\begin{align}&dm=D*dx\\&\end{align}$$Sabemos también que : D(60)=7200g/cm, consideramos que el extremo pesado de la barra es el de x=60cm pues el otro es claramente 0 D(0)=R*0^2=0 . De aquí podemos despejar la R
D(60)=R*60^2=3600R=7200--> R=2
Empecemos calculando la masa total :
$$\begin{align}&M=\int_{x=0}^{x=60} dm=\int_{0}^{60} 2x^2dx=2*[\frac{x^3}{3}]=2*60^3/3=144000g\end{align}$$M=144kg
Para hallar el centro de masa usamos la siguiente fórmula, dónde X^G es la distancia al centro de masas.
$$\begin{align}&M*X^G=\int xdm\end{align}$$Por tanto:
$$\begin{align}&X^G=\frac{\int_{0}^{60} 2x^3dx}{144000}=...=45cm\end{align}$$El cálculo es trivial, y concluimos que el centro de masas se halla a 45 cm del lado más ligero(que es dónde hemos tomado el 0).
Muy buen aporte, me gustaría que especificaras mejor el paso a paso para hallar el centro de la masa.Gracias Jon - John Franco
Quieres que complete el cálculo que he dejado sin hacer o te refieres a otra aclaración ? - Kvothe Orwell
Cordial saludo, lo que no entiendo es porque se tiene que multiplicar la densidad lineal por por, y a su vez dividirlo por la masa total. Gracias - John Franco
Cordial saludo, lo que no entiendo es porque se tiene que multiplicar la densidad lineal por por, y a su vez dividirlo por la masa total. Gracias - John Franco - John Franco
Qué es lo que no entiendes que multiplique a la densidad lineal? . Podría ser: La densidad (volumétrica) es masa entre volumen, en el caso de la lineal es masa entre longitud, si D=M/Xexpresándolo con diferenciales D(x)=dm/dx, despejando dm=D(x)*xLo de dividir por la masa total en la segunda parte viene de la definición de centro de masa. - Kvothe Orwell