¿Cómo determinar este polinomio P(x) de tercer grado?

Lo que tienes que hacer es definir un polinomio de tercer grado cualquiera, esto sería:

$$\begin{align}&P(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\end{align}$$

Con unos A,B,C,D cualquiera, esto son todos los posibles, por tanto usando los datos que te dan : 

$$\begin{align}&P(-1)=-A+B-C+D=9\\&P(0)=D=4\\&P(-2)= -8A+4B-2C+D=36\\&P(1)=A+B+C+D=-21\end{align}$$

Ahora se trata solamente de resolver este sistema de 4x4(aunque en realidad es 3x3 pues sabes directamente que D=4)

Sumando la primera y la cuarta ecuación : 

$$\begin{align}&P(-1)=-A+B-C+D=9\\&P(0)=D=4\\&P(-2)= -8A+4B-2C+D=36\\&P(1)=A+B+C+D=-21\\&\\&2B+2D=-12\\&B+D=-6\\&B=-6 -4 =-10\end{align}$$

B=-10

Multiplicando la primera por 2 y restándosela a la tercera

$$\begin{align}&-6A+2B-D=18\\&6A=-D+2B-18\\&6A=-4-20-18\\&A=-7\\&\end{align}$$

A=-7 

Despejando de cualquiera de ellas ( la primera por ejemplo): 

$$\begin{align}&-A+B-C+D=9\\&7-10-C+4=9\\&C=-8\\&\end{align}$$

C=-8