¿Cómo puedo formular los siguientes máximos y mínimos?

José, son muchos ejercicios para una sola pregunta, te haré los dos primeros:

$$\begin{align}&f(x) = x^2-3x+2\\&f'(x) = 2x-3\\&f'(x) = 0 \to 2x-3 =0 \to x = 3/2\\&f''(x) = 2 \to \text{Como es positivo, el extremo que exista será mínimo }\\&\therefore\\&x=3/2 \text{ es mínimo}\\&---\\&f(x) = 3x-x^3\\&f'(x) = 3-3x^2\\&f''(x)=-6x\\&f'(x)=0 \to 3-3x^2=0 \to x^2=1 \to x = \pm1\\&f''(1) = -6\cdot 1 = -6 <0 \to x=1 \ Máximo\\&f''(-1) = -6\cdot (-1) = 6 >0 \to x=-1 \ Mínimo\end{align}$$

Salu2

No creo que nadie vaya a hacerte los deberes, pero si podemos ayudarte para que los hagas tu.

Si f es una función real, de variable real, que presenta un extremo relativo en un punto x0 cumple que su derivada en ese punto es nula (f presenta un extremo en x0 entonces f'(x0)=0). Ahora, cuando hallas la derivada de la función y encuentras sus raices, no implica que en esas raíces presente máximos o mínimos relativos, pueden ser puntos de inflexión, como es el caso del 0 en f(×)=x^3. Para saber si en un punto hay un máximo, un mínimo o es un punto de inflexión tienes que evaluar la derivada segunda en dicho punto, si es negativa es un máximo, si es positiva es un mínimo y si es cero tienes que seguir derivando hasta que deje de ser nula (en el caso en el que siempre sea nula te encuentras ante un punto de inflexión) cuando te de el primer resultado no nulo, si el orden de la derivada es impar estás ante un punto de inflexión y si es par, como mismo dije antes, si el resultado de evaluar es negativo presenta un máximo relativo y si es positivo un mínimo. Una vez tengas localizados los máximos y mínimos relativos para buscar los absolutos sólo tienes que comparar los valores.

;)
Te hago la penúltima:

$$\begin{align}&f(x)=4x^3-7x^2-6x+2\\&\\&f'(x)=12x^2-14x-6\\&\\&f'(x)=0 \rightarrow 12x^2-14x-6=0\\&\\&x_1= \frac 3 2 \\&\\&x_2=-\frac 1 3\\&\\&f''(x)=24x-14\\&\\&f''( \frac 3 2)=24 \frac 3 2 -14>0 \Rightarrow mínimo\\&\\&f''(-\frac 1 3)=24 \Big(-  \frac 1 3 \Big)-14<0 \Rightarrow Máximo\end{align}$$

Saludos

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;)

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