Buscar Base del espacio nulo de T y base para la imagen T

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Hola Andreina!

Se llama espacio nulo, o núcleo de la transformación lineal, o KerT al conjunto de vectores del conjunto de salidaR3, tal que su imagen es el vector nulo(0,0,0)

Luego

3x-y+z=0

2x+y-z=0

x-2y+2z=0

resolviendo el sistema:  sumando las dos primeras ===>  5x=0 ==> x=0

sustituyendo en las dos últimas:

-y+z=0    ===>    y = z

-2y+2z=0===>  y=z

El núcleo está formado por los vectores tipo  (0,y,y).

Como solo depende de un parámetro  dim Ker T= 1   (dimensión del núcleo)

Base del núcleo  y=1   ===> (0,1,1)

Por la ecuación de la dimensión, sabemos que la dimensión del conjunto de salida(R3) es igual a la dimensión del Núcleo + dim Imagen:

3=dimKerT+dim Im

3=1+dim Im

dim Im T=3-1=2

Haciendo la transformación de dos vectores de la base de R3, tenemos una base de la Imagen:

(1,0,0) ===> T(1,0,0)=(3,2,1)

(0,1,0) ===> T(0,1,0)=(-1,1,-2)

Luego una base de la imagen de T son {(3,2,1),(-1,1,-2)}

Saludos

;)

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¡Hola Andreina!

El espacio nulo son los vectores cuya imagen es el vector nulo, luego debe cumplirse

( 3x-y+z, 2x+y-z , x-2y+2z) = (0,0,0)

lo cual son tres ecuaciones

3x-y+z = 0

2x+y-z = 0

x-2y+2z = 0

Vemos que sumando primera y segunda se simplifica mucho

5x = 0

x=0

Con lo cual segunda y tercera quedan

y-z=0

-2y+2z = 0

que son dos ecuaciones equivalentes luego solo sirve una

La solución entonces es

x=0

y=z

son dos condiciones, la dimensión del espacio nulo es 3-2=1

Luego un solo vector será la base, tomemos uno cualquiera que cumpla esas dos condiciones, lo normal será tomar

B= {(0, 1, 1)}

Si tomamos los tres vectores de la base canónica y hallamos sus imágenes y luego rechazamos uno de ellos (ya que la dimensión del conjunto imagen es 2 por ser el núcleo de dimensión 1) tendremos la base de la imagen.

Luego tomamos (1,0,0) y (0,1,0)

T(1,0,0) = (3, 2, 1)

T(0,1,0) = (-1, 1, -2)

Y esa es la base:

B={(3, 2, 1), (-1, 1, -2)}

Y eso es todo, saludos.

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